1、情境试题创新练(二)三角函数及解三角形1广场上有一盏路灯挂在高9米的电线杆顶上，记电线杆的底部为A，把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A点5米的点B处，女孩以5米为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的面积约是(取3.14)()A30.166 m2B31.4 m2C34.54 m2 D35.56 m2【解析】选C.如图所示，设BPx，根据题意知，解得x1，所以人影扫过的面积约是S(6252)3.141134.54(m2).2南山中学红豆园内的红豆树已有百年历史百年红豆树，十年树一花时光流转，红豆花开，读书爱国的气息随着花开风起如图，小明为了测量红豆树高度，他在正西方向选取与红豆树根部
2、C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在西偏北30的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75的方向上，树梢D的仰角为30，则红豆树的高度为()A10米 B20米C米 D米【解析】选D.根据题图知，在ABC中，BAC30，ACB753045，AB40，由正弦定理得，解得BC20，在RtBCD中，CBD30，所以CDBCtan 3020，所以红豆树的高度为米3德国著名天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”现将底与腰之比或腰与底之比为的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36或10
3、8的等腰三角形如图，ABC，BCD，ADE都是黄金三角形，若AB2，则DE的大小为()A1BC2D1【解析】选C.由题意，即BC1，因为，所以DC2，由题意黄金三角形是一个顶角为36或108的等腰三角形，可知A36，ABC是等腰三角形，所以CBD108，BCD是等腰三角形，则BCD36，那么ECD72，因为ADE是黄金三角形，所以CED72，则DCDE，所以DE2.4.珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山
4、顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70，80，则A，B的高度差约为(sin 700.94)()A10米 B9.72米C9.40米 D8.62米【解析】选C.根据题意画出如图的模型，则 CB10，OAB70，OAC80，所以CAB10，ACB10，所以AB10，所以在RtAOB中，BO10sin 709.4(米).5刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n很大时，用圆内接正n边形的周长近似等于圆周
5、长，并计算出精确度很高的圆周率3.141 6.在九章算术注中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想运用此思想，当取3.141 6时可得sin 1的近似值为()A0.008 73 B0.017 45C0.026 18 D0.034 91【解析】选B.将一个单位圆分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2，由垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长AB2AC21sin 12sin 1，因为这180个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，所以18021sin 1360sin 12，所以sin 10.017 45.6将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作
6、用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为f(x)a cosh，其中a为悬链线系数，cosh x称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh x.若直线xm与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2分别相交于点A，B，曲线C1在点A处的切线与曲线C2在点B处的切线相交于点P，则()Aysinh xcosh x是偶函数Bcosh(xy)cosh xcosh ysinh xsinh yC|BP|随m的增大而减小DPAB的面积随m的增大而减小【解析】选D.对于选项A：ysinh xcosh x是奇函数，所以A错误；对
7、于选项B：cosh xcosh ysinh xsinh ycosh(xy)，所以B错误；对于选项C，D：设A，B，由曲线C1在点A处的切线方程为：y(xm)， 曲线C2在点B处的切线方程为：y(xm)，联立求得点P的坐标为(m1，em)，则|BP|211，SPAB|AB|em，所以|BP|随m的增大而先减小后增大，PAB的面积随m的增大而减小，所以C错误，D正确7秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平他在著作数书九章中叙述了已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四
8、约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即为S.已知ABC的三条边长为a，b，c，其面积为12，且a2c2b214，则ABC周长的最小值为()A12B14C16D18【解析】选C.由已知：S，且a2c2b214，S12.由将式代入式得：12ac25，所以ABC周长acbac216.取等条件ac5，b6，故周长的最小值为16.8在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段AB长度(如图：粗线条部分)与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度
9、、线段AB的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为，卫星高度角为，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物的高度为()ABC D【解析】选B.如图所示：由于CDBD，所以在RtACD中，tan .在RtBCD中，tan ，所以，解得x，所以y.9已知南北回归线的纬度为2326，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90|.当地夏半年取正值，冬半年取负值，如果在北半球某地(纬度为0)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于_(结果用含有h0和0的式子表示).【解析】90|90|0(2326)
10、|，所以tan ，所以影长tan (02326)h0.所以两楼的距离应不小于tan (02326)h0.答案：tan (02326)h010下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d(米)(在水平面下d为负数)与时间t(秒)满足函数关系式dA sin (t)1(A0，0，|)，则函数关系式为_【解析】由题意知水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，所以A2；又水轮每分钟旋转4圈，所以转一圈需要15秒，所以T15，解得；由顺时针旋转t0时，t2k(kZ)，解得2k(kZ)，又|，所以；所以函数关系式为d2sin 1.答案：d2sin 1