1、第四章指数函数与对数函数4.2指数函数第1课时指数函数的图像及其性质考点1指数函数的概念1.(2019湖南雅礼中学周测)下列函数:y=x2;y=(-2)x;y=2x+1;y=(a-1)x(a1,且a2)。其中,指数函数的个数是()。A.1B.2C.3D.4答案:A解析:是二次函数;底数小于0,故不是指数函数;指数为x+1,故不是指数函数;是指数函数。2.(2019武汉外校周练)若函数f(x)=12a-3ax是指数函数,则f12的值为()。A.2B.-2C.-22D.22答案:D解析:函数f(x)是指数函数,12a-3=1,a=8。f(x)=8x,f12=812=22。3.(2019银川一中单元
2、测试)函数f(x)=ax(a0且a0)对于任意实数x,y都有()。A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)答案:C解析:f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y)。故选C。4.(2019东北师大附中月考)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(aR)。若fg(1)=1,则a=()。A.1B.2C.3D.-1答案:A解析:fg(1)=f(a-1)=5|a-1|=1,|a-1|=0,解得a=1。5.(2019上海中学周测)方程3x-1=19的解是。答案:x=-1解析:由3x-1=19得
3、3x-1=3-2,x-1=-2,x=-1。6.(2019天津和平区高一期中质量调查)已知f(x)=2x+12x,若f(a)=5,则f(2a)=。答案:23解析:f(x)=2x+12x,若f(a)=5,则f(a)=2a+12a=5。所以f(2a)=(2a)2+12a2=2a+12a2-2=23。7.(2019山东济宁一中高一月考)下列函数中是指数函数的是(填序号)。y=4x;y=x4;y=-4x;y=122x;y=2-x;y=2x-1。答案:解析:y=122x=14x,y=2-x=12x。所以都是指数函数。8.(2019福建闽侯八中高一月考)若函数y=(a2-3a+3)ax为指数函数,则a的值为
4、。答案:2解析:函数y=(a2-3a+3)ax为指数函数,a2-3a+3=1,a0,且a1,解得a=1或a=2,a0,且a1,a=2。9.(2019广西南宁一中高一月考)若指数函数f(x)的图像经过点(2,9),则f(x)=,f(-1)=。答案:3x13解析:设f(x)=ax(a0,且a1),因为f(x)的图像经过点(2,9),代入得a2=9,解得a=3或a=-3(舍去),所以f(x)=3x,所以f(-1)=3-1=13。10.(2019石家庄二中单元测试)若指数函数f(x)的图像经过点(2,16),则f-12=。答案:12解析:设f(x)=ax(a0,且a1),由于其图像经过点(2,16),
5、所以a2=16,解得a=4或a=-4(舍去),因此f(x)=4x,故f-12=4-12=12。考点2指数函数的图像11.(2019衡水中学月考)指数函数y=ax与y=bx的图像如图4-2-1-1,则()。图4-2-1-1A.a0,b0B.a0C.0a1D.0a1,0b1,0a1)的图像是()。图4-2-1-2答案:B解析:方法一:由题设知y=ax,x0,1ax,x1,由指数函数的图像易知答案为B。方法二:y=a|x|是偶函数,且a1,a|x|1,排除A,C。又当x0时,y=ax,由指数函数的图像知选B。13.(2019四川成都新津中学高一月考)函数f(x)=x|x|2x的图像大致形状是()。图
6、4-2-1-3答案:B解析:由函数f(x)=x|x|2x=2x,x0,-2x,x2时,函数y=ax和y=(a-1)x2的图像只能是下图中的()。图4-2-1-4答案:A解析:当a2时,y=ax的图像从左到右呈上升型,y=(a-1)x2的图像为开口向上的抛物线,故选A。15.(2019北京育才学校期中)若函数y=ax+b-1(a0,且a1)的图像经过第二、三、四象限,则一定有()。A.0a0B.a1,且b0C.0a1,且b1,且b0答案:C解析:函数y=ax+b-1的图像经过第二、三、四象限,则其图像应如图所示,所以0a1,a0+b-10,即b0,且a1)的图像可能是图4-2-1-5中的()。图
7、4-2-1-5答案:C解析:当x=1时,y=a1-a=0,所以y=ax-a的图像必过定点(1,0),结合选项可知选C。17.(2019山东曲阜二中高一检测)指数函数f(x)=mx,g(x)=nx满足不等式0mn1,则它们的图像是图4-2-1-6中的()。图4-2-1-6答案:C解析:由0mn1可知,应为两条递减的曲线,故只可能是C或D,再判断,与n和m的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令x=1,对应的函数值分别为m和n,由m0且a1)的图像恒过定点P,则P点的坐标是。答案:(1,5)解析:指数函数y=ax(a0,a1)的图像恒过(0,1)点,而要得到函数f(x)=ax-1+4(其
8、中a0且a1)的图像,可将指数函数y=ax(a0,a1)的图像向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度。则(0,1)点平移后得到点(1,5),所以所求点P的坐标是(1,5)。考点3指数函数的性质19.(2019四川简阳高一期中)函数f(x)=3x-4+2x-4的定义域是()。A.2,4)B.2,4)(4,+)C.(2,4)(4,+)D.2,+)答案:B解析:依题意有x-40,2x-40,解得x2,4)(4,+)。20.(2019云南曲靖宣威八中高一第六次质检)函数y=1-2x,x0,1的值域是()。A.0,1B.-1,0C.0,12D.-12,0答案:B解析:由指数函数的性质可得f(x)=
9、2x是递增函数,当x0,1时,f(0)f(x)f(1),即1f(x)2,-2-2x-1,函数y=1-2x,x0,1的值域为-1,0。故选B。21.(2019北京四中单元测试)若122a+13-2a,解得a12,故选B。22.(2019武汉二中月考)函数y=ax(a0且a1)在1,2上的最大值与最小值的差为a2,则a的值为()。A.12B.32C.23或2D.12或32答案:D解析:当a1时,y=ax在1,2上的最大值为a2,最小值为a,故有a2-a=a2,解得a=32或a=0(舍去)。当0a1时,y=ax在1,2上的最大值为a,最小值为a2,故有a-a2=a2,解得a=12或a=0(舍去)。综
10、上,a=32或a=12。23.(2019山东菏泽高一期中)函数y=25-5x的值域是()。A.0,+)B.0,5C.0,5)D.(0,5)答案:C解析:解25-5x0得x2,05x52=25,-25-5x0,025-5x25,025-5x5,函数y=25-5x的值域是0,5)。24.(2019广东广州二中高一期中)函数y=15x-1的值域是()。A.(-,1)B.(-,0)(0,+)C.(-1,+)D.(-,-1)(0,+)答案:D解析:令t=5x,t(0,+),y=15x-1=1t-1的值域为(-,-1)(0,+)。25.(2018吉林实验中学高三模拟)已知12x-52x,则函数y=x2-4
11、x+1的值域为。答案:yy-114解析:由12x-52x,得2-x+52x,-x+5x,解得x52。又y=x2-4x+1=(x-2)2-3在2,+)上为增函数,所以y14-3=-114。26.已知f(x)的定义域为(0,1),则f(3x)的定义域为。答案:(-,0)解析:f(x)的定义域为(0,1),03x1,x0,a1)在-2,1上的最大值为4,最小值为m,则实数m的值为。答案:12或116解析:当a1时,f(x)在-2,1上单调递增,则函数f(x)的最大值为f(1)=a=4,最小值为m=f(-2)=a-2=4-2=116;当0a0,且y1。(2)y=23-|x|;答案:定义域为R。|x|0
12、,y=23-|x|=32|x|320=1。值域为y|y1。(3)y=22x-x2。答案:定义域为R。2x-x2=-(x-1)2+11,22x-x22,即y2。故函数的值域为(0,2。第2课时指数函数的图像及其性质的应用考点1比较指数幂的大小1.(2019河南洛阳高一期中调研)已知a=243,b=425,c=2513,则()。A.bacB.abcC.bcaD.cab,又c=2513,ac,babcB.bacC.cabD.bca答案:B解析:由题可知c3,1aac。3.(2019东北三校高一联考)设y1=40.9,y2=80.48,y3=12-1.5,则()。A.y1y2y3B.y1y3y2C.y
13、2y1y3D.y3y1y2答案:B解析:y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=12-1.5=21.5,y=2x是增函数,且1.81.51.44,y1y3y2,故选B。4.(2019大连二十三中单元测评)已知a=0.860.75,b=0.860.85,c=1.30.86,则a,b,c的大小关系是()。A.abcB.bacC.cbaD.cab答案:D解析:函数y=0.86x在R上是减函数,00.860.850.860.751,cab。5.(2018宁波调考)下列三个实数的大小关系正确的是()。A.1201122120111B.1201121212011C.112011212
14、011D.121201120=1,由于0120111,故1201120,则3x2x1,f(3x)f(2x);若x0,则03x2xf(2x);若x=0,则f(3x)=f(2x)。综上,f(cx)f(bx)。考点2解简单的指数不等式或指数方程7.(2019宁夏育才中学高一检测)方程2x2+x=8x+1的解为。答案:x=3或x=-1解析:原方程可化为2x2+x=23x+3,x2+x=3x+3,x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1。8.(2019河北邢台二中高一月考)不等式12x2-22的解集为。答案:x|1或x-1解析:12x2-2=(2-1)x2-2=22-x2,原不等式等价于22-x221。
15、y=2x是在R上的增函数,2-x21,x21,即x1或x-1。原不等式的解集是x|x1或x-1。9.(2019山西太原实验中学高一月考)(易错题)如果a-5xax+7(a0,且a1),求x的取值范围。答案:解:当a1时,因为a-5xax+7,所以-5xx+7,解得x-76。当0aax+7,所以-5x-76。综上所述,当a1时,x-76;当0a-76。10.(2019北大附中单元测评)解关于x的不等式ax-3x+11a(其中a0且a1)。答案:解:当a1时,x-3x+1-1,x-3x+20,x2+2x-3x0。(x+3)(x-1)x0,x-3或0x1。当0a1时,x-3x+1-1,x2+2x-3
16、x0,-3x1时,x(-,-3(0,1;当0a1,b1,b0C.0a0D.0a1,b0答案:D解析:f(x)=ax-b的图像可由y=ax的图像向左平移得到,故0a1,b0,且a1)的图像有两个公共点,则a的取值范围是。答案:0a1214.(2019哈尔滨调考)已知f(x)=2|x-a|的图像关于直线x=1对称,则实数a的值为。答案:1解析:f(x)=2|x-a|的图像关于直线x=1对称,f(1+x)=f(1-x),即2|1+x-a|=2|1-x-a|,|1+x-a|=|1-x-a|,解得a=1。15.(2019青岛一中检测)利用函数f(x)=2x的图像作出下列函数的图像。(1)f(x-1);答
17、案:f(x-1)=2x-1。(2)f(|x|);答案:f(|x|)=2|x|。(3)f(x)-1;答案:f(x)-1=2x-1。(4)-f(x);答案:-f(x)=-2x。(5)|f(x)-1|;答案:|f(x)-1|=|2x-1|。(6)f(-x)。答案:f(-x)=2-x=12x。16.(2019郑州一中检测)已知函数y=12|x+2|。(1)作出函数的图像;答案:解法一:由函数解析式可得y=12|x+2|=12x+2(x-2),2x+2(x-2)。其图像分成两部分:一部分是y=12x+2(x-2)的图像,由下列变换可得到:y=12xy=12x+2;另一部分是y=2x+2(xb)的图像如图
18、4-2-2-3所示,则函数g(x)=ax+b的图像是()。图4-2-2-3图4-2-2-4答案:A解析:由函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中ab)的图像可知0a1,b-1,所以函数g(x)=ax+b是减函数,排除选项C,D;又因为函数图像过点(0,1+b)(1+b0,0y=13x2+2x3。mB,0f(-2),则实数a的取值范围是。答案:12,1解析:指数函数f(x)=(2a-1)x,且f(-3)f(-2),函数f(x)单调递减,02a-11,解得12a1,故答案为12,1。21.(2019云南曲靖宣威八中高一第六次质检)已知函数f(x)=1-12x。(1)求函数f(x)的定义域;答案:
19、由1-12x0,得x0,函数f(x)的定义域为0,+)。(2)若f(a)=12,f(b)=33,求a+b的值。答案:依题意有1-12a=12,1-12b=33,即12a=34,12b=23,故12a+b=12a12b=3423=12,解得a+b=1。22.(2019天津和平区高一期中质量调查)设f(x)=1-2x1+2x。(1)判断函数f(x)的奇偶性;答案:对于函数f(x),其定义域为(-,+)。对定义域内的每一个x,都有f(-x)=1-2-x1+2-x=2x-12x+1=-1-2x1+2x=-f(x),函数f(x)=1-2x1+2x为奇函数。(2)求函数f(x)的单调区间。答案:设x1,x
20、2是区间(-,+)上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-2x11+2x1-1-2x21+2x2=2(2x2-2x1)(1+2x1)(1+2x2)。由x10,而1+2x10,1+2x20,于是f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)是(-,+)上的减函数。函数f(x)的单调递减区间为(-,+),无单调递增区间。第3课时指数函数及其性质的综合问题考点1与指数函数有关的复合函数的单调性问题1.(2019辽宁鞍山一中高一月考)函数y=121-x的单调递增区间为()。A.(-,+)B.(0,+)C.(1,+)D.(0,1)答案:A解析:因为xR,y=121-x
21、=2x-1,所以函数y=121-x在(-,+)上是增函数。2.(2019宁夏银川育才中学高一月考)函数f(x)=ex-e-x2是()。A.增函数且是偶函数B.增函数且是奇函数C.减函数且是偶函数D.减函数且是奇函数答案:B解析:f(x)的定义域为R,关于原点对称。f(x)=ex-e-x2,f(-x)=e-x-ex2=-f(x),f(x)是奇函数。在R上任取x1,x2,令x1x2,则f(x1)-f(x2)=ex1-e-x12-ex2-e-x22=ex1+e-x2-ex2-e-x12。x1x2,0ex1ex2,0e-x2e-x1,f(x1)-f(x2)=ex1+e-x2-ex2-e-x121,4-
22、a2x+2,x1是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为()。A.(1,+)B.(4,8)C.4,8)D.(1,8)答案:C解析:由题意知a1,4-a20,a4-a2+2,a1,a8,a4,解得4a0,且a1)的值域为1,+),则f(-4)与f(1)的大小关系是()。A.f(-4)f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)1,再根据f(x)在(-1,+)上是增函数,且图像关于直线x=-1对称,可得f(-4)f(1)。6.(2019河南洛阳模拟)若对于任意x(-,-1,都有(3m-1)2x1成立,则m的取值范围是()。A.-,13B.-,13C.(-,1)D.(-,-1答案:C解析:x(-
23、,-1,2x0,12,不等式(3m-1)2x1恒成立,即3m-112x恒成立,由2x0,12,得12x2,+),3m-12,即m1。实数m的取值范围是(-,1)。7.(2019河北衡水武邑中学高一月考)设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,且当x1时,f(x)=5x,则f23,f32,f13的大小关系是()。A.f13f23f32B.f32f13f23C.f32f23f13D.f23f321213,f23f12f13,即f23f320(a0,且a1)的值域为R,则实数a的取值范围是。答案:13,1解析:由题意知分段函数的值域为R,其在R上是单调函数,由此可知0
24、a1,根据图像可知:3a-0a0,即3a1,解得a13。综上,可得13a1。9.(2019湖南石门一中月考)若函数f(x)=2x,x0,则函数y=f(f(x)的值域是。答案:-1,-1212,1解析:画出f(x)=2x,x0的图像,由图像可知f(x)的值域是(0,1)(-1,0),设t=f(x),t(0,1)(-1,0),y=f(f(x)=f(t),由图像看出当t(0,1)(-1,0)时,f(t)的范围是-1,-1212,1,函数y=f(f(x)的值域是-1,-1212,1。10.(原创题)已知函数f(x)=a-x(a0,且a1)满足f(-2)f(-3),则函数g(x)=a1-x2的单调增区间
25、是。答案:(-,0解析:f(-2)f(-3),a21。令t=1-x2,则y=at。y=at是增函数,t=1-x2的单调增区间是(-,0,g(x)=a1-x2的单调增区间是(-,0。11.(2019郑州调考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)-12的解集是。答案:(-,-1)解析:设x0。因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1。当x0时,1-2-x(0,1),所以不等式f(x)-12,即当x0时,2x-1-12,解得x-1。考点2指数型复合函数的值域与最值问题12.(2019河南南阳高一联考)判断函数f(x)
26、=13x2-2x的单调性,并求其值域。答案:解:令u=x2-2x,则原函数变为y=13u。u=x2-2x=(x-1)2-1在(-,1上单调递减,在(1,+)上单调递增,又y=13u在(-,+)上单调递减,函数y=13x2-2x在(-,1上单调递增,在(1,+)上单调递减。u=x2-2x=(x-1)2-1-1,y=13u,u-1,+),00,且y1。(2)y=13x-2。答案:由x-20,得x2,所以定义域为x|x2。当x2时,x-20,又因为0131,所以y=13x-2的值域为y|0y1。15.(2019河北定州中学高一月考)已知x满足12x4,且1273-x1,求函数f(x)=9x-3x+1
27、-1的最大值和最小值。答案:解:y=2x是增函数,12x4即2-x22,-x2,x-2。又y=3x在R上是增函数,1273-x1即3-33-x30,-3-x0,00,且a1)是定义在R上的奇函数。(1)求k的值;答案:f(x)=kax-a-x是定义域为R的奇函数,f(0)=0,得k=1。(2)若f(1)0,试求不等式f(a-x-1)+f(1-a)0的解集;答案：由f(x)=ax-a-x,又a0且a1,f(1)0,a-1a0,a1。易知f(x)=ax-a-x在R上单调递增。f(a-x-1)+f(1-a)0,f(a-x-1)-f(1-a)=f(a-1),a-x-1a-1,a-xa12,-x12,解
28、得x14,舍去;当142时,g(t)min=g()=-2+3,令-2+3=1,得=2或=-22时,g(t)min=g(2)=-4+7,令-4+7=1,得=320时,F(x)=f(x)。(1)求F(x)的解析式;答案:解:x0,F(x)=f(x)=ex+e-x。F(x)为奇函数,x0,F(x)=-F(-x)=-(e-x+ex)=-ex-e-x,F(x)=ex+e-x,x0,0,x=0,-ex-e-x,x0时,F(x)e0+e0=20,令t=ex,则F(x)=t+1t(t1),任取x1,x2(0,+),且x1x2,则t1=ex1t2=ex2,F(x1)-F(x2)=t1+1t1-t2+1t2=(t1-t2)1-1t1t2,易知t1-t20,F(x1)-F(x2)0,即F(x1)F(x2),F(x)在(0,+)上为增函数。F(x)为奇函数,F(x)在(-,+)上单调递增。(3)若ae2x-ex+a0(x1,2)恒成立,求实数a的取值范围。答案:解:令t=ex,x1,2,则te,e2,ae2x-ex+a0在1,2上恒成立,等价于att2+1=1t+1t在e,e2上恒成立,又t+1t在e,e2上单调递增,a1e+1e=ee2+1。