1、第十章复数10.2复数的运算10.2.1复数的加法与减法课后篇巩固提升基础达标练1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i答案D解析z=3-i-(i-3)=6-2i.2.(2020湖南模拟)若复数z=|4+3i|+a-2ai(aR)为纯虚数,则实数a=()A.-5B.0C.5D.-10答案A解析由题可得z=a+5-2ai,又z为纯虚数,所以a=-5.故选A.3.(2020上海高二课时练习)设z1=x2-i,z2=-1+xi,xR,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为()A.-1B.0C.1D.1或-1答案A解析由z1=x2-i,z2=-1+xi,则z1+z
2、2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i,若z1+z2为纯虚数,则x2-1=0,x-10,解得x=-1.故选A.4.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案A解析|AB|=|2i-1|=5,|AC|=|4+2i|=20,|BC|=5,|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.5.(2020徐州铜山大许中学高二期中)已知z1,z2C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=3,则|z1-z2|=()A.0B.1C.3D.2答案B解析设z1=a+bi,z2=c+di(其中a,b
3、,c,dR),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.依题意得a2+b2=1,c2+d2=1,由|z1+z2|=3得(a+c)2+(b+d)2=3,所以得2(ac+bd)=1.所以|z1-z2|=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1+1-1=1.6.复数z满足|z-2+i|=1,则|z|的最大值是()A.5B.6C.5+1D.5-1答案C解析|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1,则z对应的点构成以C(2,-1)为圆心,1为半径的圆,|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离,则最大值为|OC|+1=22+(-1)2+1
4、=5+1.故选C.7.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=.答案5解析|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|=32+42=5.8.已知z1=32a+(a+1)i,z2=-33b+(b+2)i(a,bR),若z1-z2=43,则a+b=.答案3解析z1-z2=32a+(a+1)i-33b+(b+2)i=32a+33b+(a-b-1)i=43,由复数相等的条件知32a+33b=43,a-b-1=0,解得a=2,b=1.a+b=3.9.已知z1=cos +isin ,z2=cos -isin ,且z1-z2=513+1213i,则
5、cos(+)的值为.答案12解析z1=cos+isin,z2=cos-isin,z1-z2=(cos-cos)+i(sin+sin)=513+1213i,cos-cos=513,sin+sin=1213,由2+2得2-2cos(+)=1,即cos(+)=12.10.在复平面内,O是原点,OA,OC,AB对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么OB对应的复数为,BC对应的复数为.答案-1+6i4-4i解析OB=OA+AB=(-2+i)+(1+5i)=-1+6i,BC=OC-OB=(3+2i)-(-1+6i)=4-4i.11.(2020安徽定远民族学校高二月考)已知A(1,2),B(a,
6、1),C(2,3),D(-1,b)(a,bR)是复平面内的四个点,且向量AB,CD对应的复数分别为z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.解(1)AB=(a-1,-1),CD=(-3,b-3),z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,所以z1+z2=(a-4)+(b-4)i.又z1+z2=1+i,a-4=1,b-4=1,a=5,b=5.z1=4-i,z2=-3+2i.(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i.|z1+z2|=2,z1-z2为实数,(a-4)2+(b
7、-4)2=4,2-b=0,a=4,b=2.能力提升练1.设向量OP,PQ,OQ对应的复数分别为z1,z2,z3,那么()A.z1+z2+z3=0B.z1-z2-z3=0C.z1-z2+z3=0D.z1+z2-z3=0答案D解析OP+PQ=OQ,z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.2.(2020四川泸县第一中学三模)zC,若|z|-z=1+2i,则z=()A.32-2iB.32+2iC.2+2iD.2-2i答案B解析设z=a+bi(a,bR),则|z|-z=a2+b2-a+bi=1+2i,故a2+b2-a=1,b=2,解得a=32,b=2,故z=32+2i.3.在ABCD中,点A,B,C分
8、别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是()A.2-3iB.4+8iC.4-8iD.1+4i答案C解析AB对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,设点D对应的复数为z,则DC对应的复数为(3-5i)-z.由平行四边形法则,知AB=DC,-1+3i=(3-5i)-z,z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故选C.4.(2020上海高二课时练习)z1=3+4i,z2=-2-i,则z1-z2的共轭复数为()A.1-3iB.5-3iC.5+3iD.1+3i答案B解析因为z1=3+4i,z2=-2-i,所以z1-z2=
9、(3+4i)-(-2+i)=5+3i.所以z1-z2的共轭复数为5-3i,故选B.5.复数z满足|z-i|=|z+3i|,则|z|()A.最小值为1,无最大值B.最大值为1,无最小值C.恒等于1D.无最大值,也无最小值答案A解析设复数z=x+yi,其中x,yR,由|z-i|=|z+3i|,得|x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|,x2+(y-1)2=x2+(y+3)2,解得y=-1.|z|=x2+y2=x2+11,即|z|有最小值为1,没有最大值.故选A.6.(多选题)(2020苏州相城陆慕高级中学高二月考)已知i为虚数单位,下列说法正确的是()A.若复数z满足|z-i|=5,则复数z对应
10、的点在以(1,0)为圆心,5为半径的圆上B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8iC.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模D.复数z1对应的向量为OZ1,复数z2对应的向量为OZ2,若|z1+z2|=|z1-z2|,则OZ1OZ2答案CD解析满足|z-i|=5的复数z对应的点在以(0,1)为圆心、5为半径的圆上,A错误;设z=a+bi(a,bR),则|z|=a2+b2.由z+|z|=2+8i,得a+bi+a2+b2=2+8i,a+a2+b2=2,b=8,解得a=-15,b=8,z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由|z1+
11、z2|=|z1-z2|的几何意义知,以OZ1,OZ2所在线段为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选CD.7.(2020上海高二课时练习)设复数z1=m+5i,z2=3+ni,m,n均为实数.若z1+z2=4+3i,z=m+ni,则z=.答案1+2i解析z1=m+5i,z2=3+ni,z1+z2=m+5i+3+ni=(m+3)+(5+n)i.又z1+z2=4+3i,(m+3)+(5+n)i=4+3i.m+3=4,5+n=3,解得m=1,n=-2,m+ni=1-2i,z=1+2i.8.复数z1=cos +i,z2=sin -i,则|z1-z2|的最大值为,最小值为.答案62解析|z
12、1-z2|=|(cos-sin)+2i|=(cos-sin)2+4=5-2sincos=5-sin2,当sin2=-1时,得最大值6,当sin2=1时,得最小值2.9.设z=a+bi(a,bR),且(4a+4bi)+(2a-2bi)=33+i,又=sin -icos ,求|z-|的取值范围.解(4a+4bi)+(2a-2bi)=33+i,6a+2bi=33+i,6a=33,2b=1,a=32,b=12.z=32+12i,z-=32+12i-(sin-icos)=32-sin+12+cosi,|z-|=32-sin2+12+cos2=2-3sin+cos=2-232sin-12cos=2-2si
13、n-6,-1sin-61,02-2sin-64,0|z-|2,故|z-|的取值范围是0,2.素养培优练已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=12+32i,求复数z1,z2及|z1-z2|.解由于|z1+z2|=12+32i=1.设z1,z2,z1+z2对应的向量分别为OA,OB,OC,则|OA|=|OB|=|OC|=1,故A,B,C三点均在以原点为圆心,半径为1的圆上,如图.易得:cosAOC=12,故AOC=60,又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形,OACB为菱形,且BOC,COA都是等边三角形,即AOB=120.又OC与x轴正半轴的夹角为60,点A在x轴上,即A(1,0).而xB=|OB|cos120=-12,yB=|OB|sin120=32,点B的坐标为-12,32.z1=1,z2=-12+32i,或z1=-12+32i,z2=1.|z1-z2|=32-32i=3.