1、第2课时一元函数的导数及其应用课后训练巩固提升1.若曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.2B.-2C.-D.解析:y=1+,y=-,切线斜率为y|x=3=-.因为曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,所以-(-a)=-1,解得a=-2,故选B.答案:B2.若函数f(x)=x2-2x-4ln x,则f(x)的单调递增区间为()A.(-1,0)B.(-1,0)(2,+)C.(2,+)D.(0,+)解析:函数f(x)的定义域为(0,+),导数f(x)=2x-2-.由f(x)0,得x2.故f(x)的单调递增区间是(2,+).答案:C3.设函数f(x)
2、在R上可导,其导函数为f(x).若函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由题图可知,f(-2)=0,f(2)=0,当x0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.答案:D4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=()A.0或
3、-7B.-7C.0D.7解析:f(x)=3x2+2ax+b.由题意得解得若a=-3,b=3,则f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2.当x1时,f(x)0,所以x=1不是极值点,不符合题意.经检验,a=4,b=-11符合题意,所以a+b=4-11=-7.故选B.答案:B5.已知函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,且对任意xR,f(x)+f(x)1,则不等式exf(x)ex+1的解集为()A.x|x0B.x|x0C.x|x1D.x|x-1或0x1,g(x)0在R上恒成立.g(x)=exf(x)-ex在R上为增函数.又f(0)=2,g(0)=1.故g(x)=exf(x)-ex1的解集为x|
4、x0,即不等式exf(x)ex+1的解集为x|x0.答案:A6.已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间为.解析:令f(x)=3x2-3a=0,解得x=.易得f(x)在x=-处取得极大值,在x=处取得极小值.由题意知f(-)=6,f()=2,解得a=1,b=4.令f(x)=3x2-30,得-1x0时,h(x)0,函数h(x)在区间(0,+)上单调递减.当x1,2时,h(x)min=h(2)=-2.a-2.故实数a的取值范围为.8.已知函数f(x)=(x+a)ex(aR).(1)若函数f(x)在区间-3,+)上单调递增,求实数a的取值范围;(2
5、)若f(x)e2对x0,2恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=(x+a+1)ex,xR.因为函数f(x)在区间-3,+)上单调递增,所以f(x)0,即x+a+10对x-3,+)恒成立.因为y=x+a+1是增函数,所以-3+a+10,解得a2.故实数a的取值范围为2,+).(2)因为f(x)=(x+a)exe2对x0,2恒成立,即ae2-x-x对x0,2恒成立.设g(x)=e2-x-x,x0,2,则g(x)=-e2-x-1.因为g(x)0,所以函数g(x)在区间0,2上单调递减.所以ag(x)max=g(0)=e2.因此,实数a的取值范围是e2,+).9.已知函数f(x)=x2-ml
6、n x,h(x)=x2-x+a,(1)当a=0时,f(x)h(x)在区间(1,+)上恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间1,3上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.解:(1)由f(x)h(x)在区间(1,+)上恒成立,得m在区间(1,+)上恒成立.设g(x)=,则g(x)=.令g(x)=0,解得x=e.当x(1,e)时,g(x)0,函数g(x)在区间(e,+)上单调递增.所以当x=e时,函数g(x)取得极小值也是最小值,且最小值为g(e)=e.故me.(2)由题意得k(x)=x-2ln x-a,函数k(x)在区间1,3上恰有两个不同零点等价于函数(x)=x-2ln x的图象与直线y=a在区间1,3上有两个不同的交点.(x)=1-.令(x)=0,解得x=2.当x1,2)时,(x)0,函数(x)在区间(2,3上单调递增.所以,函数(x)在x=2处取得极小值也是最小值,(x)min=(2)=2-2ln 2.又因为(1)=1,(3)=3-2ln 3,所以(1)(3)(2)0.所以2-2ln 2a3-2ln 3.因此,实数a的取值范围为(2-2ln 2,3-2ln 3.
