1、河南省开封市2020届高三数学第三次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）.1. 已知集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知求出B的补集，进而求交集【详解】解：由已知：，所以集合故选：B【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题.2. 设复数，则的虚部为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法法则求出，再写出的虚部【详解】解：因为复数i，则z的虚部为，故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算的复数的定义，属于基础题.3. 已知Sn为等差数列的前n项和，若，则（ ）A. 2B. 0C. 2D. 10【答案】B【
2、解析】【分析】设等差数列的公差为d，由已知结合等差数列的通项公式及求和公式得到即得的值.【详解】解：设等差数列的公差为d，由，所以则故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4. 设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得到结论【详解】由ab，当ab0时，不等式a|a|b|b|等价aabb，此时成立当0ab时，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成
3、立当a0b时，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立，即充分性成立；由a|a|b|b|，当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab当a0，b0时，ab当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab即必要性成立，综上可得“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件，故选：C【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的基本性质的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.5. 随着年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到
4、释放，将引领户外用品行业市场增长下面是年至年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（ ）A. 年至年，中国雪场滑雪人次逐年增加B. 年至年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C. 年与年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D. 年与年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为【答案】C【解析】【分析】观察年至年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，结合统计图的性质能求出结果【详解】由年至年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，得：对于A，年至年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；对于B，年至年，中国雪场滑雪人次和
5、同比增长率均逐年增加，故B正确；对于C，年与年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数也不相等，年比年增长人数多，故C错误；对于D，年与年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为：故D正确故选：C【点睛】本题考查统计图表的应用，考查学生的数据分析能力，属于基础题.6. 执行如图的程序框图，若输入x的值为，则输出的y（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据程序模拟运行,当满足条件时，计算的值，并再次进入循环体，当不满足条件时退出循环，计算并输出的值，即可求解.【详解】解：开始：输入,进入循环，满足条件,计算x，第二次进入循环，满足条件,计算x1log241，第
6、三次进入循环，不满足条件,退出循环，计算输出,故选：B【点睛】本题考查程序框图的输入输出值的确定，涉及循环结构，对数运算，属基础题，难度较易.7. 正方体中，与平面所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接交于点E，连接AE，求角即可【详解】如图，连接交于点E，连接AE，正方体中，证得：平面，所以与平面所成的角为，设正方体的边长为，在中，求得：，,所以，故选A【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出对应的一个平面角，解三角形即可，属于基础题8. “二进制”来源于我国古代的易经，该书中有两类最基本的符号：“”和“”，其中“”在二进制中记作“1”，“”在二进制中记作
7、“0”如符号“”对应的二进制数011（2）化为十进制的计算如下：011（2）022+121+1203（10）若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分类计算得到从两类符合中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，即可计算得到概率【详解】根据题意，不同符号可分为三类：第一类：由两个“”组成，其二进制为：11（2）3（10）；第二类：由两个“组成，其二进制为：00（2）0（10）；第三类：由一个“”和一个“”组成，其二进制为：10（2）2（10），01（2）1（10），所以从两类符号中
8、任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率P故选：D【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及转化的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档试题.9. 已知函数f（x）x（xc）2在x2处有极大值，则c（ ）A. 2或B. 6C. 2D. 2或6【答案】B【解析】【分析】由函数f（x）x（xc）2在x2处有极大值，则必有f（2）0，且在x2的左侧附近f（x）0，右侧附近f（x）0，据此即可求出c的值【详解】因为f（x）（xc）2+2x（xc）3x24cx+c2，且函数f（x）x（xc）2在x2处有极大值，所以f（2）0，
9、即c28c+120，解得c6或2经检验c2时，函数f（x）在x2处取得极小值，不符合题意，应舍去故c6，故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数极值问题，其中解答中熟练应用导数研究函数的极值的方法是解答的关键，意在考查推理与运算能力.10. 已知A是ABC的一个内角，且sinA+cosAa，其中a（0，1），则关于tanA的值，以下答案中，可能正确的是（ ）A. 2B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】把已知的等式两边平方，由同角三角函数间的基本关系化简后，得到2sinAcosAa210，进而得到cosA0，得到sinAcosA，再结合三角函数的基本关系式，求得tanA值的范围，
10、即可判断出符合题意的tanA值的可能值【详解】由sinA+cosAa，两边平方得：（sinA+cosA）2a2，即sin2A+cos2A+2sinAcosA1+2sinAcosAa2，又因为a（0，1），所以2sinAcosAa210，因为0A，得到，所以cosA0，又由sinA+cosAa0，所以sinAcosA0，则tanA1比较四个选项，只有A正确故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数基本关系式的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.11. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP平面BDE
11、F，则线段AP长度的取值范围是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，可证平面AMN平面BDEF，得P点在线段MN上由此可判断当P在MN的中点时，AP最小；当P与M或N重合时，AP最大然后求解直角三角形得答案【详解】如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1，M、N、E、F为所在棱的中点，MNB1D1，EFB1D1，MNEF，又MN平面BDEF，EF平面BDEF，MN平面BDEF；连接NF，由NFA1B1，NFA1B1，A1B1AB，A1B1AB，可得NFAB，NFAB，则四边形ANFB为平
12、行四边形，则ANFB，而AN平面BDEF，FB平面BDEF，则AN平面BDEF又ANNMN，平面AMN平面BDEF又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP平面BDEF，P点在线段MN上RtAA1M中，AM，同理，在RtAA1N中，求得AN，则AMN为等腰三角形当P在MN的中点时，AP最小为，当P与M或N重合时，AP最大为线段AP长度的取值范围是，故选：B【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.12. 若函数对、，同时满足：（1）当时有；（2）当时有，则称为函数下列函数中：；.是函
13、数的为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得满足是上的奇函数，且为增函数，称为函数，由函数的奇偶性和单调性与导数之间的关系，分别判断、的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论【详解】由（1）当时有，即为，则为上的奇函数；由（2）当时有，即为，可得为上的增函数，则函数为上的奇函数，且为增函数由，定义域为，,即为奇函数，又，可得为上的增函数，故是函数；，定义域为，即为奇函数，又，可得为上的增函数，故是函数；，定义域为，可得为偶函数，故不是函数；，定义域为，时，可得为奇函数，又在，上单调递增，但在上不为增函数，比如，故不是函数故选：A【点睛】本题考查函数的新定义，主要考查函数
14、的奇偶性与单调性的判断，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知x，y满足约束条件则的最大值为_.【答案】4【解析】【分析】作出可行域，作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向下平行直线，增大，当过点时，为最大值故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键14. 设向量，若，则实数_【答案】【解析】分析】根据题意，先求出的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得，求解即可【详解】解：根据题意，则.若，则，解得.故答案为：【点睛】本题考查向量垂直、向量数量积坐标运算，属于基础题.15
15、. 已知正项数列的前n项和为，且对于任意，有，若a2=4，则_，_【答案】 (1). 2 (2). 126【解析】【分析】根据已知条件，对p，q的依次取特值，求出数列的前6项，即可得到结果【详解】解：正项数列的前项和为，且对于任意，有，当时， ，所以，当时，所以，当时，所以，当时，所以，当时，所以，所以；故答案为：2；126【点睛】本题考查数列的递推关系，数列的求和，属基础题，难度较易.16. 已知、是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为_【答案】【解析】【分析】结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率.【详解】如图,因为为正三角形，所以，所
16、以是直角三角形.因为，所以,.因为，所以即，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 在ABC中，D为边AC上的点，BD3，且BDcosBDCBCsinC（1）求BDC；（2）若ABD的面积为，求AB【答案】（1）；（2）AB.【解析】【分析】（1）结合正弦定理即可求解；（2）先根据面积求得AD，进而结合余弦定理即可求解【详解】（1）因为BDcosBDCBCsinC，由正弦定理得si
17、nCcosBDCsinBDCsinC因为sinC0可得tanBDCBDC；（2）ABD的面积为，BDADsin（BDC）ADsinAD1；AB2AD2+BD22ADBDcos（BDC）32+12213；AB【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合基础题.18. 如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PAD为等边三角形，E，F分别为PC和BD的中点，且EFCD（1）证明：平面PAD平面ABCD；（2）求点C到平面PDB的距离【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据中位线定理可证PACD，结合ADCD可得CD平面PAD，于是平面PAD平面AB
18、CD；（2）计算PBD的面积，根据VPBCDVCPBD列方程计算点C到平面PDB的距离【详解】（1）因为E，F分别为PC和BD的中点，所以EFPA，又因为EFCD，所以PACD，因为四边形ABCD是正方形，所以ADCD，又PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD，又CD平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD（2）取AD的中点O，连接PO，因为PAD是等边三角形，AD2，所以POAD，且PO，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD，又四边形ABCD是边长为2的正方形，所以SBCD2，所以VPBCD，连接OB，则OB，故PB2，又BD2，
19、PD2，所以SPBD，设C到平面PBD的距离为h，则VCPBD，整理得，解得h，即点C到平面PBD的距离为【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及点到平面的距离的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.19. 已知抛物线C：x22py（p0），F为抛物线C的焦点以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2（1）求抛物线C的方程；（2）直线ykx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P，求证：PAB为直角三角形【答
20、案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得M点的坐标为，代入抛物线方程，即可求出p的值；（2）设，利用导数的几何意义得到A，B两点处的切线斜率分别为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到k1k21，从而得到PAB为直角三角形【详解】（1）记抛物线C与圆F在第一象限的交点为M，由圆F与抛物线C的准线相切，且M到抛物线C准线的距离等于圆F的半径，所以M点的坐标为，代入抛物线方程得：，所以，所以抛物线的方程为.（2）设，由，可得y，则，所以A，B两点处的切线斜率分别为，由，得，所以，所以，所以，即为直角三角形【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的
21、综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值46.65636.8289.81.61.469108.8表中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由（2
22、）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据（2）的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（1）适宜；（2）；（3）576.6，,6.32；【解析】【分析】（1）由图中散点的大致形状，可以判断适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，进而可得到y关于x的回归方程.（3）由（2），可求出时，年销售量y的预报值，再结合年利润，计算即可；根据（2）的结果，可求得
23、年利润z的预报值，求出最值即可.【详解】（1）由图中散点的大致形状，可以判断适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，由于，所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为.（3）由（2）知，当时，年销售量y的预报值，年利润z的预报值.根据（2）的结果可知，年利润z的预报值，当时，即当时，取得最大值.故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大【点睛】本题考查回归方程及其应用，考查利用二次函数求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，其中为自然对数的底数（1）求实数的值，并求的单调区间；（2）证明：【答案
24、】（1），函数的单调递减区间，函数单调递增区间；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求，结合导数与单调性关系即可求解（2）要证明原不等式成立，可转化为证明求解相应函数的范围，进行合理的变形后构造函数，结合导数可证【详解】解：（1）函数定义域为.，由题意可得，e，故a，.当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：设，则.当x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，故.设，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故.综上可得，时，恒有，即【点睛】本题考查函数的单调区间、不等式恒成立的证明问题，属于中档题
25、.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1和C2在第一象限交于点A（1）求点A的直角坐标；（2）直线与曲线C1，C2在第一象限分别交于点B，C，若ABC的面积为，求的值【答案】（1）（）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用三角形面积公式和三角函数关系式，求出结果【详解】（1）曲线C1的参数方程为（为参数
26、），转换为直角坐标方程为.根据转换为极坐标方程为. 联立曲线C1和C2得到：，解得，即转换为直角坐标为（）（2）连接OA，由（1）得：，可得：|OA|，将直线与曲线C1和C2联立可得：，.， ，所以则：SABCSAOCSAOB，整理得，所以【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、三角函数关系式，考查了数学运算能力，逻辑推理能力，转化数学思维，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 关于x的不等式的解集为A，且A，A（1）求m的值；（2）设a，b，c为正实数，且，求的最大值【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）根据集合的特点可得A，A，从而得到关于的不等式，即可得答案；（2）利用基本不等式，即可得答案；【详解】（1）A，A，.（2）a，b，c为正实数，且，当且仅当时取等号的最大值为3【点睛】本题考查利用不等式的解集确定参数值，以及利用基本不等式求最值，属综合基础题.