1、安徽省安庆市示范高中2021届高三数学下学期4月模拟试题 理本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，
2、写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 3. 甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，则（ ）A. 4B. 3C. 2D. 14. 函数的部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的
3、最小值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. -26. 的展开式中，含的项的系数是（ ）A. -20B. -5C. 5D. 357. 已知，则（ ）A. B. C. 2D. 38. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（ ）A. B. C. D. 9. 已知：，使得，则的最大值为（ ）A. -1B. C. D. 110. 函数与的图象有个交点，其坐标依次为，则（ ）A. 4B. 8C. 12D. 1611. 四棱锥中，底面为矩形，体积为，若平面，且，则四棱锥的外接球体积的最小值是（ ）A. B. C. D. 12. 设函
4、数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某班级举办投篮比赛，每人投篮两次，若小童每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为_.14. 已知等比数列的前项的乘积记为，若，则_.15. 如图，在三棱锥中，则与平面所成角的大小为_.16. 设抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，过点作轴垂线在轴的上方与抛物线交于点，记直线，的斜率分别为，则_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
5、（一）必考题：共60分.17. 已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和.18. 如图，在三棱台中，、分别为、中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面，令二面角的平面角为，求.19. 某研究所研制出某种抗病毒疫苗，为检测其抗病毒效果，科研人员多次将该疫苗注射到若干小白鼠体内，在独立环境下试验一段时间后，确定这些小白鼠的该项医学指标值近似服从正态分布.其中一组小白鼠某项医学指标直方图（如图）的均值与方差近似为和，经计算得.（1）若注射该疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.770时，则认定其体内已经产生抗体，请估计某小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率（结果精
6、确到0.001）；（2）若上图是200只小白鼠某项医学指标的直方图，为了进一步对数据进行分析，从该组医学指标值在的小白鼠中，采用分层抽样的方法随机抽取10只作为新样本，再从该样本中随机抽取4只小白鼠，设其医学指标在内只数为，求的分布列.附参考数据与公式：，若，则；.20. 已知离心率，焦点在轴上的椭圆与直线相交于，两点，为坐标原点，若.（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过右焦点的直线：与椭圆相交于，两点，且与圆：相切，试探究的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由.21. 已知函数在处的切线方程为.（1）求实数及的值；（2）若有两个极值点，求的取值范围并证明.（二）选考题：共10分.
7、请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点、轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过定点且与曲线交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的斜率为2，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若方程解集为空集，求的取值范围.安庆市省市示范高中2021年高考模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题1-5：BDACD6-10：BDACA11-12：BA1.【解析】，则，.2.【解析】，由可得，解得，所以，当时，所以.3.【解析】由于甲班成绩的中位数是81
8、，乙班成绩的平均数是86，知，解得，.4.【解析】，则.又，则，.5.【解析】根据题意可得，令，做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的阴影部分：做直线：然后把直线向可行域内平移，到点时最小，可得，此时.6.【解析】二项式的展开式中的通项，含的项的系数为.7.【解析】由已知得，.8.【解析】，因为，所以，.9.【解析】由不等式，可化为，成立，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，又由，所以函数的最大值为，.10.【解析】，两个函数对称中心均为；画图可知共有四个交点，且关于对称，故.11.【解析】设底面长和宽分别为、，即，四棱锥外接球的直径，当且仅当时，上式取等号，即，故四棱锥的外接球的体积最
9、小值为.12.【解析】有两个零点，即为与直线有两个交点，得.当时，为减函数；当时，为增函数，如图，设函数的切点坐标为，切线方程为，由已知切线过，所以或（因为舍去），此时斜率，由函数图像可知.二、填空题13.【答案】0.84【解析】由题意小明每次投篮不中的概率是，再次投篮都不中的概率是，他再次投篮至少投中一次的概率为.14.【答案】4096【解析】设等比数列的公比为，由得：，故，即.又，所以，故.所以.15.【答案】或【解析】如图，作平行四边形，连接，由可得平行四边形是矩形.，平面，又平面，同理可得，又，平面.是与平面所成的角.由，得，又，.与平面所成角的大小是.16.【答案】4【解析】焦点，直
10、线的方程为，由消去得，点的坐标为，同理，.三、解答题17.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，.可得，解得，因此.（2）由（1）及，设，两式相减得，所以.18.【解析】（1）证明：由三棱台知，且.因为，分别为，中点，所以，又平面，平面，又且，四边形为平行四边形，又平面，平面，又，平面平面，又平面，平面.（2），平面，平面，又，平面，又，平面.方法一：，又，作于连接，则，又，.方法二：以，分别为，轴建立空间直角坐标系，设是平面的一个法向量，则，令，则，设是平面的一个法向量，则，令，则，所以.（其他合理解法，参照给分）19.【解析】（1），记事件表示注射疫苗后产生抗体，则，所以一只小白鼠注射疫苗
11、后产生抗体的概率约为.（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10只中，医学指标值在的有四只，在中有6只，所以的可能的取值为0，1，2，3，4.所以，.所以的分布列为：0123420.【解析】，设椭圆的标准方程为，设，联立，化简得，即：，故椭圆方程为：.（2）是定值，理由如下：因为直线：与圆相切，所以，即，设，联立，消去整理得，所以，所以，又，所以.由于，所以，因为，同理，所以，所以，故的周长为定值4.21.【解析】（1），由已知得，故，所以，解得.（2）由（1）可知，所以，当时，在上为增函数，没有极值.当时，令，其对称轴方程为，.若时，此时，在上为减函数，没有极值点.若时，由，即.则的两根为，不妨设，由，故.-0+0-0+0-极小值极大值综上可知：求的取值范围是.此时，所以.由，得，故.22.【解析】（1）由得.于是，所以曲线的直角坐标方程为.（2）设直线的倾斜角为，则，于是，所以直线的参数方程为（为参数）.将，代入得，所以，所以.23.【解析】，即，所以或或，解得或或，解集为.（2）等价于没有解，即函数和函数的图像没有交点，画出的图像，直线恒过点，即直线绕点旋转时，与函数图象无交点时斜率的范围.如图，所以的取值范围为.