1、3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率学 习 目 标核 心 素 养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念2理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性3了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率1. 通过倾斜角概念的学习，提升数学建模和直观想象的数学核心素养2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学核心素养1倾斜角的相关概念(1)两个前提：直线l与x轴相交；一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；范围：0180，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.(2)作用：表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上
2、的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可思考：下图中标的倾斜角对不对？ 提示都不对2斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角(90)的正切值(2)记法：ktan (3)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)00909090180斜率(范围)0(0，)不存在(，0)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式：k思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？提示不是若直线没斜率，则其倾斜角为90.1如图所示，直线l与y轴的夹角为45，则l的倾斜角为() A45B135C0D无法计算B根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135.2已知一条直线过
3、点(3，2)与点(1，2)，则这条直线的倾斜角是()A.0 B45 C60 D90Ak0， 0.3已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A.5 B8 C D7C由斜率公式可得1，解之得m.4已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A. BC.1 DA由题意可知，ktan 30.直线的倾斜角【例1】设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A.45B.135C.135D.当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾角为135D根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类
4、讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()A.B180C.180或90 D90或90D如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.直线的斜率【例
5、2】(1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB4，则点B的坐标为()A.(2，0)或(0，4) B(2，0)或(0，8)C.(2，0) D(0，8)(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A.(1，0 B0，1C.1，2 D0，2(1)B(2)D(1)设B(x，0)或(0，y)，kAB或kAB，4或4，x2，y8，点B的坐标为(2，0)或(0，8).(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0k2.故选D.解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90
6、)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解2(1)已知过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为135，则y_(2)过原点且斜率为的直线l绕原点逆时针方向旋转30到达l位置，则直线l的斜率为_(1)5(2)(1)直线AB的斜率ktan 1351，又k，由1，得y5.(2)k时，即tan ，30，绕原点按逆时针旋转30到这时kltan 60.直线倾斜角与斜率的综合探究问题1斜率公式k中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？提示斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以
7、同时互换顺序，即斜率公式也可写为k.2斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？提示当ktan 0时， 倾斜角是钝角；当ktan 0时， 倾斜角是锐角；当ktan 0时， 倾斜角是0.【例3】已知两点A(3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围思路探究：解如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1或k1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.将本例变
8、为： 已知A(3，3)，B(4，2)，C(0，2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围解如图所示当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB，kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.1求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围2利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线kABkAC或kAB与kAC都不存在3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴的大小00909090180k的范围0k0不存在k0k的增减
9、情况k随的增大而增大k随的增大而增大1对于下列命题：若是直线l的倾斜角，则0180；若k是直线的斜率，则kR；任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角其中正确命题的个数是()A1B2C3D4C由倾斜角和斜率概念可知正确2若经过A(2，1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A(，1)B(1，)C(，1) D(1，)A由题意知kAB0，即0，解得m1，故应选A.3已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是_依题意：kABkAC，即，解得a.4已知交于M(8，6)点的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1234，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角解l2的斜率为1，l2的倾斜角为45，由题意可得：l1的倾斜角为22.5，l3的倾斜角为67.5，l4的倾斜角为90.