1、7.5正态分布A组1.设随机变量X服从正态分布,且正态密度函数为f(x)=,则()A.=2,=3B.=3,=2C.=2,=D.=3,=解析:由f(x)=,得=2,=.答案:C2.若随机变量X的密度函数为f(x)=,X在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为()A.p1p2B.p1p2C.p1=p2D.不确定解析:由正态密度函数的解析式知,=0,=1,所以正态曲线关于直线x=0对称.所以p1=p2.答案:C3.已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2解析:由P(4)=0.8,知P
2、(4)=P(0)=0.2,故P(02)等于()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4解析:因为P(X2)+P(0X2)+P(-2X0)+P(X2)=P(X2)=1-2P(-2X0)=0.1.答案:A5.工人加工机器零件的尺寸在正常情况下服从正态分布N(,2).在一次正常的测验中,随机取出10 000个零件,不属于-3,+3这个尺寸范围的零件个数可能为()A.70B.100C.27D.60解析:正态变量的取值落在区间-3,+3内的概率约是0.997 3,则不落在区间-3,+3内的概率约是0.002 7.因此随机取出10 000个零件,不属于这个尺寸范围的零件个数可能是27.答案:C6.为了解某
3、地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重(单位:kg)数据,抽查结果表明他们的体重X服从正态分布N(,22),且正态密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数是()A.997B.954C.819D.683解析:由题意及题图可知=60.5,=2,故P(58.5X62.5)=P(-X+)0.682 7,从而体重属于正常情况的人数是1 0000.682 7683.答案:D7.已知一次考试共有60名考生参加,考生的成绩XN(110,25).据此估计,大约应有57名考生的分
4、数在区间()A.(90,110内B.(95,125内C.(100,120内D.(105,115内解析:=0.95,故可得大约应有57人的分数在区间(-2,+2内,即在区间(110-25,110+25内.答案:C8.(多选题)下列说法中正确的是()A.设随机变量X服从二项分布B,则P(X=3)=B.已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(X4)=0.9,则P(0X2)=0.4C.已知随机变量XN(0,2),若P(|X|2)的值为D.E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=2D(X)+3解析:设随机变量X服从二项分布B,则P(X=3)=,故A正确;随机变量X服从正态分布N(2,2),
5、正态曲线的对称轴是x=2.P(X4)=0.9,P(X4)=P(X0)=0.1,P(2X4)=(1-20.1)=0.4,故B正确;已知随机变量XN(0,2),若P(|X|2)=(1-P(|X|80)(1-0.954 5)0.022 8.故成绩高于80分的考生人数约为10 0000.022 8=228(人).所以该考生在这次公务员考试中的名次大约是第229名.答案:22911.在一次测试中,测试结果X服从正态分布N(2,2),若X在区间(0,2)内取值的概率为0.2,求:(1)X在区间(0,4)内取值的概率;(2)P(X4).解:(1)由XN(2,2),知对称轴x=2,作出正态曲线大致如图所示.因
6、为P(0X2)=P(2X4),所以P(0X4)=2P(0X4)=1-P(0X4)=(1-0.4)=0.3.12.已知公司职工年均收入X服从正态分布,其正态密度曲线如图所示.(1)写出该公司职工年均收入的正态密度函数的解析式;(2)求该公司职工年均收入在80 00085 000元之间的人数所占的百分比.解:设该公司职工年均收入XN(,2),由题图可知=80 000,=5 000.(1)该公司职工年均收入的正态密度函数解析式为f(x)=.(2)因为P(75 000X85 000)=P(80 000-5 000X80 000+5 000)0.682 7,所以P(80 000X85 000)=P(75
7、 000X85 000)0.341 4.即该公司职工年均收入在80 00085 000元之间的人数所占的百分比约为34.14%.B组1.设某地区某一年龄段的儿童的身高服从均值为135 cm,方差为100的正态分布,令表示从中随机抽取的一名儿童的身高,则下列概率中最大的是()A.P(120130)B.P(125135)C.P(130140)D.P(135145)解析:由题意知N(135,100),因此在长度都是10的区间上,概率最大的应该是在对称轴两侧关于对称轴对称的区间.故选C.答案:C2.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X-1.96)=0.025,则P(|X|1.96)等于()
8、A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975解析:由随机变量X服从正态分布N(0,1),知P(X1.96)=P(X-1.96)=0.025.所以P(|X|1.96)=P(-1.96X1.96)=1-2P(X-1.96)=1-20.025=0.950.答案:C3.已知某批零件的长度公差(单位:mm)服从正态分布N(0,42),从中随机取出一件,则其长度公差落在区间4,8内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)0.682 7,P(-2+2)0.954 5.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%解析:由题意知正态曲线关于直线x=0对称,
9、且P(-4X4)0.682 7,P(-8X8)0.954 5,故P(4X8)(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.故选B.答案:B4.已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(mX104)=0.135 9,则m等于()(附:P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)=0.954 5.)A.100B.101C.102D.103解析:随机变量X服从正态分布N(100,4),P(98X102)0.682 7,P(96X104)0.954 5.P(102X104)=(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.又P(mX104)=0.135 9,m=102.答案:C5.在
10、某市高二下学期期中考试中,理科学生的数学成绩XN(90,2),已知P(70X90)=0.35,则从全市理科生中任选一名学生,他的数学成绩小于110分的概率为()A.0.85B.0.70C.0.50D.0.15解析:XN(90,2),=90.又P(70X90)=0.35,P(90X110)=0.35.P(X110)=(1-0.70)=0.15,从而P(X110)=1-0.15=0.85.他的数学成绩小于110分的概率为0.85.答案:A6.若一批灯泡的使用时间X(单位:h)服从正态分布N(10 000,4002),则这批灯泡的使用时间在区间9 200,10 800内的概率约是.解析:由已知得=1
11、0 000,=400,所以P(9 200X10 800)=P(10 000-2400X10 000+2400)0.954 5.答案:0.954 57.某校的一次数学考试有600人参加,已知学生的考试成绩XN(100,a2),试卷满分150分,统计结果显示考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次数学考试中成绩不低于120分的学生约有人.解析:因为成绩XN(100,a2),所以其正态曲线关于直线x=100对称.又考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,所以考试成绩在120分以上的人数约为总人数的.所以此次数学考试中成绩不低于120分的学生约有600=120(人).答案:1
12、208.某品牌摄像头的使用寿命(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为.解析:P(2)=0.8,P(6)=0.2,P(5)1-0.158 65=0.841 35.对于第二个方案2N(3,22),则2=3,2=2.于是P(3-223+2)=P(125)0.682 7,所以P(25)=1-P(125)(1-0.682 7)=0.158 65.由于P(15)P(25),故应选择第一个方案.10.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,若正态曲线在区间(0,80)内单调递增,在区间(80,+)内单调递减,且f(80)=.(1)求正态密度函数的解析式;(2)估计尺寸在7288 mm之间的零件大约占总数的百分比.解:(1)因为正态曲线在区间(0,80)内单调递增,在区间(80,+)内单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处达到峰值.所以=80.又,所以=8.故正态密度函数的解析式为f(x)=.(2)由=80,=8,得-=80-8=72,+=80+8=88.所以零件的尺寸X的取值落在区间72,88内的概率约为0.682 7.故尺寸在7288 mm之间的零件大约占总数的68.27%.
