1、第十一节函数模型及其应用题号123456答案1.(2012海口调研)若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：小时)的函数关系用图象表示为()解析：根据题意得解析式为h205t(0t4)，其图象为B.答案：B2等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx2解析：yxxsin 60x2.故选D.答案：D3某工厂采用高科技改革，在2年内产值的月增长率都是a，则这2年内第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为()Aa121 B(1a)121Ca Da1解析：不妨设第一年8月份的产值为b
2、，则9月份的产值为b(1a)，10月份的产值为b(1a)2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b(1a)12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为：(1a)121.答案：B4在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()Ay2x2 By(x21)Cylog3x Dy2x2解析：代入数据验证，最接近者为B.答案：B5某工厂6年来
3、生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()解析：依题意，前3年年产量增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年的总产量保持匀速增长，故选A.答案：A6世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 20.301 0,100.007 51.017)()A1.5% B1.6% C1.7% D1.8%解析：设每年人口平均增长率为x，则(1x)402，两边取对数，则40lg(1x)lg 2，所以lg(1x)0.007 525，所以100.007 5251
4、x，得1x1.017，所以x1.7%.答案：C7某物体一天中的温度T(单位：)是时间t(单位：h)的函数：T(t)t33t60，t0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时的温度为_解析：当t3时，T(3)33336078.答案：78 8里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍答案：610 0009小王每月除去所有日常开支，大约结余a元小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄
5、起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息假设1年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息那么，小王的存款到期利息为_元解析：依题意得，小王存款到期利息为12ar11ar10ar3ar2arar ar78ar(元)答案：78ar10用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽分别应为_答案：3 m,1.5 m11(2013山东名校信息优化卷)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动设顶点P(x，y)的轨迹方程是yf(x)，则yf(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为_解析：由于
6、本题是求两个相邻零点间的图象与x轴所围成的区域的面积，所以为了简便，可以直接将P点移到原点，开始运动，如图所示，当P点第一次回到x轴时经过的曲线是三段相连的圆弧，它与x轴围成的区域面积为1. 答案：112根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图1中的一条折线表示，销量Q与时间t的关系用图2中的线段表示(tN*)(1)分别写出图1表示的价格与时间的函数关系Pf(t)，图2表示的销售量与时间的函数关系Qg(t)；(2)这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间解析：(1)Pf(t)Qg(t)，t1,40，tN*.(2)当1t20时，S2.tN*，t10或11时，
7、Smax176.当20t40时，S(t41)t228t为减函数；当t20时，Smax161.而161176，当t10或11时，Smax176.13(2013安徽蚌埠质检)经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2012年的促销费用投入多
8、少万元时，厂家的利润最大？解析：(1)由题意可知当m0时，x1(万件)所以13k，得k2，即x3.每件产品的销售价格为1.5(元)，所以2012年的利润yx1.5(816xm)48xm48m28m(m0)，所以利润y表示为年促销费用的函数关系式是y28m(m0)(2)由(1)知y29(m0)因为m0时， (m1)28，所以y29821.当且仅当m1即m3(万元)时，y取得最大值所以当促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大为21万元14即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每
9、天能来回10次每天来回次数是每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问：每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数(注： 营运人数指火车运送的人数)解析：设这列火车每天来回次数为t次，每次拖挂车厢n节，则设tknb，由解得t2n24.设每次拖挂n节车厢，每天营运人数为y人，则ytn11022(220n22 640n)，当n6时，总人数最多为15 840人每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多，最多为15 840人15如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上(1)怎样截取才能
10、使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积解析：(1)(法一)连接OC.设BCx，矩形ABCD的面积为S，则AB2，其中0x30.所以S2x2x2(900x2)900，当且仅当x2900x2，即x15时，S取得最大值为900 cm2.(法二)连接OC.设BOC，矩形ABCD的面积为S，则BC30sin ，OB30cos ，其中0.所以SABBC2OBBC900 sin 2.当sin 21，即时，S取最大值为900 cm2，此时BC15.所以取
11、BC为15 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm2.(2)(法一)设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，由AB22r，得r，所以Vr2h(900xx3)，其中0x30.由V(9003x2)0，得x10，因此V(900xx3)在(0,10)上是增函数，在(10，30)上是减函数所以当BC10时，V取得最大值为 cm3.(法二)连接OC.设BOC，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，则圆柱的底面半径为r，高h30sin ，其中0.所以Vr2hsin cos2(sin sin3)设tsin (0t1)，则V(tt3)由V(13t2)0，得t.因此V(tt3)在上是增函数，在上是减函数，所以当t，即sin ，BC10时，V取得最大值为 cm3.所以取BC为10 cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm3.