1、第七节 立体几何中的向量方法知识点 空间角的求法1设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，则(1)线线平行：；线面平行：；面面平行：.lmabakb，kRlauau0 uuk，kR(2)线线垂直：；线面垂直：；面面垂直：.lmabab0 lauaku，kRuu0 2空间角的求法(1)异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则如图b，c，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)|cosn1，n2|温馨提醒 利用空间向量法求二面角时易忽视判断二面角大小，从而致误解题时
2、注意结合图形判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而在下结论时作出正确判断1已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_答案：45或1352在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为_题型一 异面直线所成的角 合作探究例(2020新高考全国卷)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l平面PDC；(2)已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值解析(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDAD.又底面ABCD为正
3、方形，所以ADDC，所以AD平面PDC.因为ADBC，AD平面PBC，所以AD平面PBC.因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以lAD，因此l平面PDC.向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点(1)两种方法：基向量法：利用线性运算坐标法：利用坐标运算(2)一个注意点：注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围对点训练(2020高考北京卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点(1)求证：BC1平面AD1E；(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值解析(1)证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE，因为四边形BB1C1C是矩形，所以点E是
4、BC1的中点，又点D为AB的中点，所以DE是ABC1的中位线，所以DEAC1.因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1平面B1CD.(2)由AB2，AC1，ABC30，可得ACBC，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，利用平面的法向量求线面角的两个注意点(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2cos21求出其值不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值即为所求A 题型三 二面角 合作探究利用法向量求二面角时的两个注意点(1)对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着，不用单独求(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行判断，以防结论失误(2)由题知，DA，DC，DE两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.数学运算利用空间向量求距离对点训练如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动课时作业 巩固提升
