1、第七讲正态分布A组基础巩固一、单选题1(2022江苏扬州调研)已知随机变量XN(1，2)，P(X0)0.8，则P(X2)(A)A0.2B0.4C0.6D0.8解析由XN(1，2)，正态曲线关于X1对称，P(X2)P(X0)1P(X0)0.2；故选A.2(2021河北唐山一模)随机变量X服从正态分布N(，2)，若P(X2)0.2，P(2X6)0.6，则(C)A6B5C4D3解析由题意可知P(X6)1P(X2)P(2X6)0.2，P(X6)P(X2)，4.选C.3(2021湖南益阳调研)已知随机变量X服从正态分布N(1，2)，若P(X4)0.9，则P(2X4)(D)A0.2B0.4C0.6D0.8
2、解析由正态曲线的对称性知P(2X4)2P(1X0)，则P(|X|)0.682 7，P(|X|2)0.954 5，P(|X|3)0.997 3.已知某校1 000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为(C)A159B46C23D13解析由题意，110，10，故P(X130)P(X2) 0.022 8.估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1 0000.022 822.823.故选C.5(2021广东深圳市一模)已知随机变量XN(，2)，有下列四个命题：甲：P(XP(Xa2)；乙：P(Xa)0.5；丙：P(Xa
3、)0.5；丁：P(aXa1)P(a1Xa2)，如果只有一个假命题，则该命题为(D)A甲B乙C丙D丁解析由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a，根据正态分布的对称性可知：甲：P(XP(X2)为真命题，所以丁为假命题故选D.6(2022湖北荆州中学调研)已知某校高三年级有1 000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为60,300，若使标准分X服从正态分布N(180,900)(参考数据：P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3.则下列结论正确的个数为(B)这次考试标准分超过180分的约有450人这次考试标准分
4、在(90,270内的人数约为997甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为P(240X270)0.042 8A1B2C3D4解析这次考试标准分超过180分的约有500人，错；P(90X270)P(3X3)0.997 3，标准分在(90,270)内的人数约为0.997 31 000997，正确甲、乙、丙恰有2人超过180分的概率为C2，正确；P(240X270)0.021 4，错误故选B.二、多选题7(2022江苏江阴检测)已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110,81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的是(ABD)附：随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(2P(
5、X92)P(X2)P(2X0.95.所以，该校学生成绩的期望为110，该校学生成绩的标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%.8(2021山东青岛模拟)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是(ABD)附：若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7.A若红玫瑰日销售量范围在(30,280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C白玫瑰日销售量
6、比红玫瑰日销售量更集中D白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413解析对于选项A：30280，250，正确；对于选项BC：利用越小越集中，30小于40，B正确，C不正确；对于选项D：P(280X320)P(X2，10，20，则下列结论中一定成立的有(AC)A若12，则P(|X1|1)2，则P(|X1|1)P(|Y2|1)C若12，则P(X2)P(Y1)1D若12，则P(X2)P(Y1)2，则Y分布更加集中，则在相同区间范围Y的相对概率更大，所以P(|X1|1)1)P(X2)，又P(X2)P(X2)1，所以P(X2)P(Y1)1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC.1
7、0已知某批零件的质量指标X(单位：毫米)服从正态分布N(25.40，2)，且P(X25.45)0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值X不位于区间(25.35,25.45)的产品件数，则(AC)AP(25.35X25.45)0.8BE(X)2.4CD(X)0.48DP(X1)0.512解析X服从正态分布N(25.40，2)，P(X25.45)P(X25.35)0.1，P(25.35X25.45)1P(X25.45)P(X25.35)10.10.10.8，故A正确，X表示这3件产品的质量指标值X不位于区间(25.35，25.45)的产品件数，即XB(3,0.2)，E(X)
8、30.20.6，D(X)30.2(10.2)0.48，故B错误，C正确，P(X1)1P(X0)1(0.8)30.488，故D错误故选AC.11(2021江苏徐州模拟)已知某校有1 200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(100，225)，则下列说法正确的有(BD)(参考数据：P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3)A这次考试成绩超过100分的约有500人B这次考试分数低于70分的约有27人CP(115100)，则成绩超过100分的约有1 200600人，故A错误；对于B，P(X70)P(70X100)P(100215X1002
9、15)0.50.954 50.50.977 25，所以P(X70)10.977 250.022 75，故分数低于70分的人数约为0.022 751 20027.3，即约27人，故B正确；对于C，P(X115)P(X100)P(10015X10015)0.50.682 70.841 35，P(X130)P(X100)P(100215X100215)0.50.954 50.972 7，所以P(115X130)P(X130)P(X100)，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：恰好2人时，概率为C2；3人均超过100分时，概率为3.则至少有2人的分数超过100分的概率为，故D正确故选BD.三、填
10、空题12(2021吉林一中模拟)若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.设XN(1，2)，且P(X3)0.158 7，则 2 .解析P(X)0.682 7，P(X)(10.682 7)0.158 7，XN (1，2)，P(X1)0.158 7P(X3)，13，即2.13(2022辽宁六校作体期中)某品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命多于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为 0.25 .解析由题意知P(2)0.8，P(6)0
11、.2，P(2)P(6)0.2，正态曲线的对称轴为直线x4，P(4)0.5，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为0.5，两个该品牌的摄像头在4年内都正常工作的概率为0.50.50.25.14(2021新高考八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差nN，为使误差n在(0.5，0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量 32 次(若XN(，2)，则P(|X|2)0.954 5)解析根据正态曲线的对称性知：要使误差n在(0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，则(2，2)(0.5,0.5)且0，所以0.52n32.故答案为：32.四、解答
12、题15(2021重庆巴蜀中学适应性考试)新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现，基于目前流行病学调查，潜伏期为114天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源，某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10 000人，答题成绩统计如图所示(满分100分)(1)由直方图可认为答题者的成绩z服从正态分布N(，2)，
13、其中，2分别为答题者的平均成绩和成绩的方差s2，那么这10 000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10 000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为X，求P(X3)(精确到0.001)附：s2204.75，14.31；zN(，2)，则P(z)0.682 7，P(2z2)0.954 5；0.841 340.501, 0.841 330.595.解析(1)由题意知：450.1550.15650.2750.3850.15950.1
14、 70.5，因为z服从正态分布N(，2)，其中70.5，2 D(X)204.75，14.31，z服从正态分布N(，2)N(70.5,14.312)，而P(z)P(56.19z84.81)0.682 7，P(z84.81)0.158 7，竞赛成绩超过84.81的人数估计为0158 710 0001 587人(2)由(1)知，成绩超过56.19的概率为10.158 70.841 3，而XB(4,0.841 3)，P(X3)1P(X4)1C0.841 3410.5010.499.16(2021广东六校联考)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择方案甲：员工最多有两次抽奖机会
15、，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？解析(1)由题意，X的所有可能取值为0,500,1 000.则P(X0)，P(X500)，P(X1
16、000)，某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X05001 000P(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)5001 000520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数YB，则E(Y)3，抽奖所获奖金X的期望E(X)E(400Y)400E(Y)480，故选择方案甲较划算B组能力提升1(2022河南洛阳统测)若某单位员工每月网购消费金额(单位：元)近似地服从正态分布N(1 000，5002)，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2 000元之间的人数为X，则X的数学期望为(C)参考数据：若随机变量X服从正态分布则N(，2)，则P(X)0.6
17、82 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3.A2.718B6.827C8.186D9.545解析P(1 000500X1 0002500)P(1 0002500X1 0002500)P(1 0002500X1 000500)P(1 00025000)，若X在(80,120)内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为(C)A0.16B0.24C0.32D0.48解析X服从正态分布N(100，2)，曲线的对称轴是直线x100，X在(80,120)内取值的概率为0.6，X在(80,100)内取值的概率为0.3，X在(0,80)内取值的概率为0
18、.50.30.2.现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率PC0.2(10.2)0.32.故选C.3(2022山东模拟)设随机变量XN(4，2)，若P(Xa1)0.4，则P(X7a) 0.6 .解析随机变量XN(4，2)，对称轴为4，因为P(Xa1)0.44，根据对称性可得P(Xa1)0.4，所以P(X7a)0.6.故答案为：0.6.4(2021江苏徐州期末)某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5 000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩(
19、1)若一共有10 000参加考试，通过分析可以认为考生初试成绩X服从正态分布N(，2)，其中64，2169，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望附：若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3.解析(1)学生初试成绩X服从正态分布N(，2)，其中64，2169，26421390，P(X90)P(X2)(10.954 5)0.022 8，估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0
20、22 85 000114人(2)Y的取值分别为0,3,5,8,10,13，则P(Y0)2，P(Y3)2，P(Y5)C，P(Y8)C，P(Y10)2，P(Y13)2.故Y的分布列为Y03581013PE(Y)03581013.5(2021江苏省南通市期末)2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9：2010：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9：209：40记作20,40)、9：401
21、0：00记作40,60)，10：0010：20记作60,80)，10：2010：40记作80,100)，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9：2010：40时间内通过该收费站点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：2010：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时间T服从正态分布N(，2)，其中可用3日数据中的600辆车在9：2010：40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，
22、2用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)假如4日全天共有1 000辆车通过该收费站点，估计在9：4610：40之间通过的车辆数(结果保留到整数)附：若随机变量T服从正态分布N(，2)，则P(T)0.682 7，P(2T2)0.954 5，P(3T3)0.997 3.解析(1)这600辆车在9：2010：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：(300.005500.015700.020900.010)2064，即10：04.(2)由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在(20,60)这一区间内的车辆数，即(0.0050.015)20104，所以X的可能的取值为0,1,2,3,4.所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列为：X01234P(3)由(1)得64，(3064)20.1(5064)20.3(7064)20.4(9064)20.2324，所以18，估计在9：4610：40之间通过的车辆数也就是在(46,100)通过的车辆数，由TN(64,182)，得P(6418T64218)0.818 6，所以估计在9：4610：40之间通过的车辆数为1 0000.818 6819.