1、第2课时等比数列的性质最新课程标准 1.掌握等比数列的性质及其应用(重点) 2熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点)3能用递推公式求通项公式(难点)教材要点知识点一等比中项(1)前提：三个数x，G，y成等比数列(2)结论：_叫做x，y的等比中项(3)满足的关系式：G2_.任意两数都有等比中项吗？提示不是，只有同号的两数才有知识点二“子数列”性质对于无穷等比数列an，若将其前k项去掉，剩余各项仍为_，首项为_，公比为_；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为_，首项为_，公比为_知识点三等比数列项的运算性质在等比数列an中，若stpq(s，t，p，qN)，则asat_.特别地，当p
2、q2s(p，q，sN)时，apaq_.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的_，即a1ana2an1akank1.知识点四两个等比数列合成数列的性质若数列an，bn均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列can，anbn，也为_知识点五等比数列的单调性 基础自测1已知等比数列an，a11，a3，则a5等于()A BC. D2已知在等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则等于()A. B.C. D.3等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项为_4若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为_题型一等比中项的应用例1在等差数列an中，公差d0
3、，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？方法归纳由等比中项的定义可知：G2xyG.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数反之，若G2xy，则，即x，G，y成等比数列所以x，G，y成等比数列G2xy(xy0)跟踪训练1若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为()AB.C1 D1题型二等比数列性质的应用例2已知数列an为等比数列(1)将公比为q的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，.此数列是()A公比为q的等比数列B公比为q2的等比数列C公比为q3的等比数列D不一定是等比数列(2)若a1a2a37，a1a
4、2a38，求数列an的通项公式(3)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；方法归纳在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果跟踪训练2(1)下列结论错误的是()A有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积B当q1时，an为递增数列C当q1时，an为常数列D当a10，q1时，an为递增数列(2)在等比数列an中，已知a4a72，a5a68，求a1a10.题型三灵活设项求解等比数列例3有四个数，其中前三个数成等差数列，后
5、三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数方法归纳合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad.跟踪训练3三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数教材反思1本节课的重点是等比数列性质的应用，难点是等比数列性质的推导2要重点掌握等比数列的常用性质：(1)如果stpq，则有asatapaq；(2)如果2spq，aapaq；(3)若s，t，p成等差数列，as，at，ap成等比数列；(4)
6、在等比数列an中，每隔k项(kN)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；(5)如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|；(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1a3an2.第2课时等比数列的性质新知初探自主学习知识点一(2)G(3)xy知识点二等比数列ak1q等比数列akqk知识点三 apaqa积知识点四等比数列基础自测1解析：在等比数列中，aa1a5，所以a5.答案：C2解析：由a2a8a4a66，a4a65，a6a4
7、，得a62，a43，故选D.答案：D3解析：a4a1q3231，a8a1q72716，a4与a8的等比中项为4.答案：44解析：只有非零常数列才满足题意，所以公比q1.答案：1课堂探究素养提升例1解析：由题意知a3是a1和a9的等比中项，aa1a9，(a12d)2a1(a18d)，得a1d，.跟踪训练1解析：1，a,3成等差数列，a2，1，b,4成等比数列，b214，b2，1.答案：D例2解析：(1)由于qqq2，n2且nN，anan1是以q2为公比的等比数列，故选B.(2)aa1a3代入已知，得a8，a22.设前三项为，2,2q，则有22q7.整理，得2q25q20，q2或q.或an2n1或
8、an23n.(3)a2a42a3a5a4a636，a2a3a5a36，(a3a5)236，又an0，a3a56.跟踪训练2解析：(2)因为数列an为等比数列，所以a5a6a4a78.联立可解得或.当时，q3，故a1a10a7q37；当时，q32，同理，有a1a107.答案：(1)B(2)见解析例3解析：法一：设四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设四个数依次为a，a，aq(a0)，由条件得解得或当a8，q2时，所求四个数为0,4,8,16；当a3，q时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.跟踪训练3解析：设三个数依次为，a，aq，aaq512，a8.(aq2)2a，2q25q20，q2或q，这三个数为4,8,16或16,8,4.