1、安徽省安庆市梧桐市某中学2020届高三数学月考试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合，集合，则A. B. C. D. 2. 已知复数其中i是虚数单位，则A. B. C. 1D. 23. 抛物线的准线与y轴的交点的坐标为A. B. C. D. 4. 设函数，则A. 有最大值B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数5. 已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 一排6个座位坐了2个三口之家若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为A. 12B. 36C. 72D. 7
2、207. 已知圆C与直线及的相切，圆心在直线上，则圆C的方程为A. B. C. D. 8. 已知正项等比数列中，与的等差中项为9，则A. 729B. 332C. 181D. 969. 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天10. 某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A. 8B. 7C. 6D. 5二、填空题（本大题共5
3、小题，共25.0分）11. 设向量，不平行，向量与平行，则实数_12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则_13. 某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为_14. 若顶点在原点的抛物线经过四个点，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是_15. 某部影片的盈利额即影片的票房收入与固定成本之差记为y，观影人数记为x，其函数图象如图所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图、图中的实线分别为调整后y与x的函数图象给出下列四种说法：图对应的方案是：提高票价，并提高成本；图对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；图对应的方案
4、是：提高票价，并保持成本不变；图对应的方案是：提高票价，并降低成本其中，正确的说法是_填写所有正确说法的编号三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图1，在中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，将沿DE折起到的位置，使得平面平面BCED，如图求证：；求直线和平面所成角的正弦值；17. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，求的面积18. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月天的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据
5、，制表如图： 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件元；乙公司规定每天35件以内含35件的部分每件4元，超出35件的部分每件7元根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为单位：元，求X的分布列和数学期望；根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费19. 已知函数若曲线存在斜率为的切线，求实数a的取值范围；求的单调区间；设函数，求证：当时，在上存在极小值20. 已知椭圆C：的右焦点为F求点F的坐标和椭圆C的离心率；直线l：过点F，且与椭圆C交于P，Q两
6、点，如果点P关于x轴的对称点为，判断直线是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由21. 各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：；是的因数当时，写出数列的前五项；若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求m的值；求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得时，为常数答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，集合，故选：C先求出集合A，集合B，由此能求出本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】A【解析】解：复数，故选：A利用复数模长的性质即可求解本题主要考查复数模长的计算，比较基础3.【答案】B【解析】解：抛物线的准线方
7、程为，抛物线的准线与y轴的交点的坐标为，故选：B利用抛物线的准线方程为，即可求出抛物线的准线与y轴的交点的坐标本题考查抛物线的方程与性质，比较基础4.【答案】A【解析】解：，当且仅当，即时取等号，有最大值，在上没有单调性故选：A根据即可根据基本不等式得出，从而可得出，并且时取等号，从而得出有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项本题考查了基本不等式在求最值时的应用，熟悉的单调性，考查了计算能力，属于基础题5.【答案】B【解析】解：若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足，即，满足，即必要性成立，即“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条
8、件，故选：B根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的特点求出a，b的关系是解决本题的关键比较基础6.【答案】C【解析】解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有种情况，则有种不同的坐法；故选：C根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题7.【答案】A【解析】解：圆心在上，设圆心为，圆C与直线及的相切，圆心到两直线及的距离相等，即：，圆心坐标为
9、，圆C的标准方程为故选：A根据圆心在直线上，设出圆心坐标为，利用圆C与直线及的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程考查了圆的方程的求法，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径同时考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题8.【答案】D【解析】解：正项等比数列的公比设为q，由，可得，即，即， 与的等差中项为9，可得，即， 相除可得，解得舍去，则故选：D正项等比数列的公比设为q，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题9.【答案】C【解
10、析】解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积，根据题意，令，解得，故选：C由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可本题考查了指数函数在实际生活中的应用，关键是将信息提取出来，列出函数的解析式10.【答案】C【解析】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为，则，因为，且，所以，即故选：C设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为，根据，且，可得本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题11.【答案】【解析】【分析】本题考查实数值
11、的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题利用向量平行的条件直接求解即可【解答】解：向量，不平行，向量与平行，解得实数故答案为12.【答案】1【解析】解：角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，故为第二象限角可令，此时，故答案为：1由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得的值，可得的值本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题13.【答案】【解析】【分析】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，属于基础题画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积
12、【解答】解：几何体的直观图如图：是底面是长为2，宽为1的长方形，高为2的四棱锥，故四棱锥的体积为：故答案为14.【答案】或【解析】解：由题意可得，抛物线方程为或若抛物线方程为，代入，得，则抛物线方程为，此时在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为，代入，得，则抛物线方程为，此时在抛物线上，符合题意抛物线的标准方程可以是或故答案为：或由题意可设抛物线方程为或，然后分类求解得答案本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题15.【答案】【解析】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图降低了成本，但票价保持不变，即对；图成本保持不变，但提高了票价，即对
13、；故选：解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题16.【答案】解：证明：在中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，将沿DE折起到的位置，使得平面平面BCED，平面BCDE，平面BCDE，解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，2，2，1，设平面的法向量为y，则，取，得2，设直线和平面所成角为，则直线和平面所成角的正弦值为：【解析】推导出，从而平面BCDE，由此能证明以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直
14、线和平面所成角的正弦值本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17.【答案】解：若选择，由余弦定理，分因为，所以；分由正弦定理，得，分因为，所以，分所以分所以分若选择，则，分因为，所以，分因为，所以；分由正弦定理，得，分因为，所以，分所以，分所以分若选择，则，所以，分因为，所以，所以，所以；分由正弦定理，得，分因为，所以，分所以，分【解析】取，由余弦定理可得进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取，由正弦定理可得：，解得B，可得，由正弦定理可得：a，利用三角形
15、面积计算公式即可得出；取，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.【答案】解：甲公司员工A投递快递件数的平均数为：，众数为分 设a为乙公司员工B投递件数，则当时，元，当时，元，的可能取值为136，147，154，189，203，分 ，X的分布列为： X136147154189203P分 分 根据图中数据，由可估算：甲公司被抽取员工该月收入元，乙公司被抽取员工该月收入元分【解析】由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数由题意能求出X
16、的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望利用的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一19.【答案】解：由得：，由已知曲线存在斜率为的切线，存在大于0的实数根，即存在大于0的实数根，在时递增，的范围是；由，得：时，在递增；时，若时，若，则，故在递增，在递减；由及题设得：，由，得：，由得：在递增，取，显然，存在满足，即存在满足，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，时，在存在极小值【解析】本题考查了函
17、数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、是一道综合题求出函数的导数，问题转化为存在大于0的实数根，根据在时递增，求出a的范围即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，根据，得到存在满足，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可20.【答案】解：椭圆C：，解得，焦点，离心率直线l：过点F，：由，得依题意设，则，点P关于x轴的对称点为，则直线的方程可以设为，令，直线过x轴上定点【解析】由椭圆的标准方程即可得出；直线l：过点F，可得l：代入椭圆的标准方程可得：依题意设，可得根与系数的关系点P关于x轴的对称点为，则可得
18、直线的方程可以为，令，把根与系数的关系代入化简即可得出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为及其根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题21.【答案】解：时，数列的前五项分别为：5，1，0，2，2解：，又数列的前3项互不相等，当时，若，则，且对，都为整数，；若，则，且对，都为整数，；当时，若，则，且对，都为整数，不符合题意；若，则，且对，都为整数，；综上，m的值为2，3，4证明：对于，令，则又对每一个n，都为正整数，其中“”至多出现个故存在正整数，当时，必有成立当时，则从而由题设知，又及均为整数，故常数从而常数故存在正整数M，使得时，为常数【解析】当时，写出数列的前五项；对、分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；令，则进一步推得存在正整数，当时，必有成立再由成立证明为常数本题考查数列递推式，考查数列的前n项和，考查逻辑思维能力与推理运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题
