1、3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学 习 目 标核 心 素 养1理解函数的单调性与导数的关系(重点)2能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间(重点)3能根据函数的单调性求参数(难点)1通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养2借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0的什么条件？提示必要不充分条件2函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较
2、大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些1函数yx3x的单调递增区间为()A(0，)B(，1)C(1，)D(，)Dy3x210，故选D2函数f(x)2xsin x在(，)上()A增函数B减函数C先增后减D先减后增Af(x)2xsin x，f(x)2cos x0，f(x)在R上是增函数3若函数f(x)的导数f(x)x(x2)，则f(x)在区间_上单调递减0,2f(x)x(x2)，由f(x)0得，0x2，f(x)在0,2上单调递减导数与函数图象的关系【例1】(1)f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函
3、数yf(x)的图象可能是()(2)已知函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是图中的 ()(1)D(2)C(1)由f(x)0(f(x)0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势由已知可得x的取值范围和f(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：x(，0)(0,2)(2，)f(x)f(x)由表可知f(x)在(，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，)内递增，满足条件的只有D，故选D(2)由函数yf(x)的图象的增减变化趋势判断函数yf(x)的正、负情况如下表：x(1，b)(b，a)(a,1)f(x)f(x)由表可知函数yf(x)的图象，当x(1，b)时
4、，函数图象在x轴下方；当x(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x(a,1)时，函数图象在x轴下方故选C对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.1函数yf(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_(2,3)根据导数和图象单调性的关系知当x(2,3)时f(x)0，则0.又x0，则6x210，解得x.所以函数的单调增区间为.令f(x)0，则0，解得0x，所以函数的单调减区间为.(2)因为f(x)ax22x(a0)，当a0时，f(x)
5、2x，函数在(，0)上是递减的，在(0，)上是递增的，当a0，则ax22x0，解得x0或x，所以函数的单调增区间为，(0，)令f(x)0，则ax22x0，解得x0，所以函数的单调减区间为.综上，当a0时，函数在(，0)上是递减的，在(0，)上是递增的；当a0和f(x)0，即1ln x0，解得0xe；令f(x)0，即1ln xe.所以函数的单调递增区间是(0，e)，递减区间是(e，)(2)函数定义域为R，f(x).令f(x)0，即4x20，解得2x2；令f(x)0，即4x20，解得x2；所以函数的单调递增区间是(2,2)，递减区间是(，2)和(2，)(3)函数定义域为R，f(x)ex1.令f(x
6、)0，即ex10，解得x0；令f(x)0，即ex10，解得x0时，令3x2a0，得x；当x时，f(x)0时，由f(x)0，得x(a0)因为f(x)在区间(1,1)上不单调，所以01，即0a0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意2恒成立问题的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.3已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增加的，求t的取值范围解由题意得f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增加的，则在(1,1)
7、上f(x)0恒成立即t3x22x在区间(1,1)上恒成立考虑函数g(x)3x22x3，x(1,1)显然g(x)0，即f(x)在(1,1)上是增加的故t的取值范围是5，).1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2在利用导数讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性3如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“”连接，可用“，”隔开或用“和”连接特别提醒：(1)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点(
8、2)当不等式f(x)0或f(x)0不易求解时，可通过列表的方法求函数f(x)的单调区间(3)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响1判断正误(1)“在区间I上，f(x)0，f(x)在(0,6)上是增函数3在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf(x)0时，f(x)0，此时0x1，当x0，此时x1，因此xf(x)0的解集为(，1)(0,1)4若函数f(x)ax3x2x5在(，)上是增函数，求实数a的取值范围解因为f(x)3ax22x1，由题意可知f(x)在R上是增加的，所以f(x)0对xR恒成立，即3ax22x10在R上恒成立所以解得a.当a时，f(x)x22x10，有且只有f(1)0.所以实数a的取值范围为.