1、第七章 三角函数 71任意角的概念与弧度制71.1角的推广课程目标 1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角2掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法3了解角的概念的推广是为了满足解决现实生活和生产中实际问题的需要，学会用数学的观点分析、解决实际问题，通过训练各种角的表示法提高分析、抽象、概括的能力填一填1任意角的概念(1)角的概念：角可以看成一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形，这两条射线分别称为角的始边和终边旋转生成的角，又常叫做转角(2)角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：(3)角的加减法的几何意义：角的减法运算可以转化为角的加法运算即可
2、化为()，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和2象限角(1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限(2)象限角的集合第一象限角的集合|k36090k360，kZ|k360，090，kZ第二象限角的集合|90k360180k360，kZ|k360，90180，kZ第三象限角的集合|180k360270k360，kZ|k360，180270，kZ第四象限角的集合|270k360360k360，kZ|k360，270360，kZ终边落在坐标轴上的角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为|k3
3、60，kZ终边落在x轴负半轴上的角的集合为|k360180，kZ终边落在x轴上的角的集合为|k180，kZ终边落在y轴正半轴上的角的集合为|k36090，kZ终边落在y轴负半轴上的角的集合为|k360270，kZ终边落在y轴上的角的集合为|k18090，kZ终边落在坐标轴上的角的集合为|k90，kZ3终边相同的角(1)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，集合表示：S|k360，kZ(2)特殊角的集合(表示不唯一)终边在一条射线上时，其角的集合为：|k360，kZ终边在一条直线上时，其角的集合为：|k180，kZ终边在两条相互垂直的直线上时，其角的集合为：|k90，kZ其中表示终边落
4、在该直线(射线)上的任意角(3)区域角的集合如第一象限角：|k360k36090，kZ答一答1如何理解终边相同的角？提示：(1)为任意角(2)集合S的每一个元素与的终边相同，当k0时，对应元素为.(3)k360与之间是“”号，k360可理解为k360()(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同(5)终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍(6)kZ这一条件不可少2具备对称性的两角有怎样的数量关系？提示：角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中若两个角具有对称性，这两个角就有一定的关系，一般地：(1)与的终边关于x轴对称，则k360，kZ；(2)与的终边关于y轴对称，则(2k1)
5、180，kZ；(3)与的终边关于原点对称，则(2k1)180，kZ；(4)与的终边在一条直线上，则k180，kZ.3怎样由所在象限，求2，所在象限？提示：(1)利用已知条件写出的范围，由此确定2，的范围，再根据范围确定象限下面通过探求为第一象限角时2，所在象限的情况，总结出规律因为为第一象限角，则(1)k360k36090，kZ.所以2k36022k360180，kZ.则2是第一或第二象限角，以及终边在y轴非负半轴上的角(2)k180k18045，kZ.当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角所以为第一或第三象限角(3)k120k12030，kZ.当k3n(nZ)时，在第一象限；
6、当k3n1(nZ)时，在第二象限；当k3n2(nZ)时，在第三象限所以为第一、第二或第三象限角对于、的判定还有另一种方法八卦图法所在象限的判断方法：第一步：画出平面直角坐标系如图，将每一象限两等分；第二步：标号从靠近x轴正半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4；第三步：选号因为为第一象限角，在图中将数字1的范围画出可用阴影表示；第四步：定象限阴影部分在哪一象限，则的终边就落在哪一象限由以上步骤可知，若为第一象限角，则为第一、三象限角所在象限的判断方法：第一步：画出平面直角坐标系如图，将每一象限三等分；第二步：标号从靠近x轴正半轴的第一象限内区域开始
7、，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4；第三步：选号因为为第一象限角，在图中将数字1所在的区域用阴影画出；第四步：定象限阴影部分在哪一象限，则的终边就落在哪一象限由以上步骤可知，当为第一象限角时，则为第一、二、三象限角一般地，要确定所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的区域，就是为第几象限的角时，终边落在的区域，所在的象限就可直观地看出类型一 角的概念的理解例1有下列说法：相差360的整数倍的两个角，其终边不一定相同；
8、|是锐角|090；第二象限角都是钝角；小于90的角不一定都是锐角；钝角都是第二象限角其中，正确的说法是_(填上所有正确的序号)解析 题号正误原因分析终边相同的两个角一定相差360的整数倍，反之也成立是锐角，即090，故|090|090 (续表)题号正误原因分析第二象限角不一定都是钝角，如300是第二象限角，但它不是钝角负角和零角都小于90，但它们不是锐角钝角满足90120，故C错D正确类型二 旋转角与角的求和例2求和并作图表示：(1)6090；(2)9030；(3)6045.分析只需严格按照各角和的旋转量等于各角旋转量的和来进行解题即可解(1)6090150；(2)903060；(3)6045
9、105.作图，如图所示变式训练2如图所示，射线OA绕端点O逆时针旋转15到OB位置，接着顺时针旋转75到OC位置，然后逆时针旋转100到OD位置，最后顺时针旋转85到OE位置，求AOE.解析：由题意知AOB15，BOC75，COD100，DOE85，因此AOEAOBBOCCODDOE15751008545.类型三 象限角例3已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，判断它们在第几象限，并指出在0360范围内与其终边相同的角(1)420；(2)75；(3)855；(4)510.分析判断一个角在第几象限，只要找出与它终边相同的在0360范围内的角即可这个0360范围内
10、的角所在的象限即为所求解如图所示，由图可知：(1)420角在第一象限，在0360范围内与60角终边相同(2)75角在第四象限，在0360范围内与285角终边相同(3)855角在第二象限，在0360范围内与135角终边相同(4)510角在第三象限，在0360范围内与210角终边相同利用图像判断角所在的象限时，依据的是终边相同的角的关系.将正角或负角利用公式转化到0360范围内.因为在0360之间，没有两个角的终边是相同的.变式训练3已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：(1)225；(2)300；(3)450.解：以原点为顶点，x轴的非负半轴为始
11、边分别作出225，300，450，如图观察角的终边所在位置，知225，300分别是第三象限角和第一象限角，450的终边在y轴负半轴上，不属于任何象限类型四 终边相同的角例4在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360720内的角分析本题可获取以下主要信息：终边相同的角的一般形式；正角、负角的概念解答本题可先写出终边相同的角的一般形式，再求满足条件的整数k即可，其中最大的负角在3600之间，最小的正角在0360之间解与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)，(1)由360k36010 0300，得10 390k36
12、010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26.故所求的角为670.(1)把任意角化为k360(kZ且0360)的形式，关键是确定k.可以用观察法(的绝对值较小)也可用竖式除法.要注意：正角除以360，按通常的除法进行，负角除以360，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值.(2)其他范围内符合条件的角必与0360范围内满足条件的角终边相同.变式训练4写出与1 910终边相同
13、的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来解：由终边相同的角的表示知：与角1 910终边相同的角的集合为：|k3601 910，kZ720360.由720k3601 910360，3k6.故取k4,5,6，k4时，43601 910470.k5时，53601 910110.k6时，63601 910250.类型五 角的对称问题例5若角，的终边互为反向延长线，则与之间的关系一定是()AB180Ck360(kZ)Dk360180(kZ)分析解答本题可根据角的定义，借助坐标系作出相关图形来求解解析如图所示，以角的终边的反向延长线为终边的角有一个为180，所以k360180(kZ)答案D
14、本题所涉及的问题是终边与终边关于原点的对称问题，充分理解题意借助图形解答能起到事半功倍的效果.变式训练5已知角的终边与120角的终边关于y轴对称，求.解：因为角180(120)与120角的终边关于y轴对称，所以角的终边与300角的终边重合故角的集合是S|k360300，kZ类型六区域角的表示例6如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)解(1)终边落在射线OM上的角的集合为A|45k360，kZ(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B|225k360，kZ，则终边落在直线OM上的角的集合为AB|45k36
15、0，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZ(3)同理，终边落在直线ON上的角的集合为|60n180，nZ，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为|45n18060n180，nZ区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角其写法可分为三步(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0到360范围内的角和，写出最简区间x|x；(3)起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合变式训练6如图所示，(1)写出终边在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边在阴影部分(包括边界)的角的
16、集合解：(1)终边在射线OA上的角的集合是|210k360，kZ；终边在射线OB上的角的集合是|300k360，kZ(2)终边在阴影部分(含边界)角的集合是|210k360300k360，kZ类型七 角与2、所在象限关系问题例7若为第三象限角，求，角所在象限，并在该象限表示出来分析由题目可获取以下主要信息：是第三象限角；所求为，所在象限解答本题先写出所在象限的表达式，然后化为，再分类讨论k的取值情况解由已知得，k360180k360270，kZ，k18090k180135，kZ，当k为偶数时，在第二象限；当k为奇数时，在第四象限；如图(1)，在第二、四象限的阴影区域内(不含边界)又k12060
17、k12090，kZ，当k3n(nZ)时，在第一象限；当k3n1(nZ)时，在第三象限，当k3n2(nZ)时，在第四象限如图(2)，在第一、三、四象限的阴影区域内(不含边界)已知角所在的象限或它的终边位置，判断的终边所在的位置常用八卦图法.,作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成8个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的两个区域，就是为第几象限角时，终边落在的区域，所在的象限就可以直观地看出了.变式训练7已知为第二象限角，问2，分别是第几象限角？解：是第二象限角，90k360180k360，kZ.1802k36023602k360，
18、kZ.2是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角又4536090360，kZ.当k为偶数时，令k2n，nZ，则45n36090n360，此时，为第一象限角；当k为奇数时，令k2n1，nZ，则225n360270n360，此时，为第三象限角为第一或第三象限角1若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(C)A90 B90C360 D180解析：由于为第一象限角，所以为第四象限角，又与360角的终边相同，可知360也为第四象限的角2给出下列四个命题：75角是第四象限的角；225角是第三象限的角；475角是第二象限的角；315角是第一象限的角其中正确的命题有(D)A1个 B2个C3个 D4个解析：因为90750，180225270，36090475360180，360315270，所以四个命题都是正确的故选D3.如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是(C)A|45120B|120315C|k36045k360120，kZD|k360120k360315，kZ解析：借助于图形，先写出在(180，180)内角的集合，再在此基础上加上k360，kZ.4与500终边相同的角的集合是|k360500，kZ，它们是第三象限角，它们中的最小正角是220，最大负角是140.解析：由于500720220，可知应是第三象限角