1、专题探究课一 高考中函数与导数问题的热点题型(建议用时：80分钟)1已知函数f(x)x2ln xax，aR.(1)当a1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)x，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x2ln xx，f(x).当x(0,1)时，f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)0.(2)由f(x)x，得f(x)xx2ln x(a1)x0.由于x0，所以f(x)x等价于xa1.令g(x)x，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0.故g(x)有最小值g(1)1.故a11，a0时，令f(x)0，解得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)00f(x)极大值极小
2、值所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.(2)证明因为f(x)存在极值点，所以由(1)知a0，且x00.由题意，得f(x0)3xa0，即x，进而f(x0)xax0bx0b.又f(2x0)8x2ax0bx02ax0bx0bf(x0)，且2x0x0，由题意及(1)知，存在唯一实数x1满足f(x1)f(x0)，且x1x0，因此x12x0，所以x12x00.3(2017西安质检)已知函数f(x)2x，直线l：ykx1.(1)求函数f(x)的极值；(2)试确定曲线yf(x)与直线l的交点个数，并说明理由解(1)函数f(x)定义域为x|x0，求导得f(x)2，令f(x)0，解得x1.当x变化时，
3、f(x)与f(x)的变化情况如下表所示：x(，0)(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以函数yf(x)的单调增区间为(，0)，(1，)，单调减区间为(0,1)，所以函数yf(x)有极小值f(1)3，无极大值(2)“曲线yf(x)与直线l的交点个数”等价于“方程2xkx1的根的个数”，由方程2xkx1，得k2.令t，则kt3t2，其中tR，且t0，考查函数h(t)t3t2，其中tR，因为h(t)3t210时，所以函数h(t)在R上单调递增，且h(t)R.而方程kt3t2中，tR，且t0，所以当kh(0)2时，方程kt3t2无根；当k2时，方程kt3t2有且仅有一根，故当k2时，曲线yf
4、(x)与直线l没有交点，当k2时，曲线yf(x)与直线l有且仅有一个交点4(2017合肥模拟)已知f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；(2)对任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求实数a的取值范围解(1)g(x)3x22ax1，由题意3x22ax10的解集是，即3x22ax10的两根分别是，1.将x1或代入方程3x22ax10，得a1.所以g(x)x3x2x2.(2)由题意2xln x3x22ax12在x(0，)上恒成立，可得aln xx，设h(x)ln xx，则h(x)，令h(x)0，得x1或(舍)，当0x0，当
5、x1时，h(x)0，所以当x1时，h(x)取得最大值，h(x)max2，所以a2，所以a的取值范围是2，)5(2017衡水中学质检)已知函数f(x).(1)若f(x)在区间(，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若a0，x01，设直线yg(x)为函数f(x)的图像在xx0处的切线，求证：f(x)g(x)(1)解易知f(x)，由已知得f(x)0对x(，2)恒成立，故x1a对x(，2)恒成立，1a2，a1.(2)证明a0，则f(x).函数f(x)的图像在xx0处的切线方程为yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，则
6、h(x)f(x)f(x0).设(x)(1x)ex0(1x0)ex，xR则(x)ex0(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在R上单调递减，而(x0)0，当x0，当xx0时，(x)0，当x0，当xx0时，h(x)0，h(x)在区间(，x0)上为增函数，在区间(x0，)上为减函数，xR时，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)6(2016全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)()设a0，则当x(，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1
7、，)上单调递增()设a，则ln(2a)0；当x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减若a1，故当x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当x(1，ln(2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，所以f(x)有两个零点()设a0，则f(x)(x2)ex，所以f(x)只有一个零点()设a0，若a，则由(1)知，f(x)在(1，)上单调递增又当x1时f(x)0，故f(x)不存在两个零点若a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增又当x1时，f(x)0，故f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，).