1、湖南省祁东县育英实验学校2011届高三月考数学（理）试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1巳知集合，是虚数单位，设为整数集，则集合中的元素个数是A3个 B个 C个 D0个2命题：若，则与的夹角为钝角。命题：定义域为R的函数在 及上都是增函数，则在上是增函数。下列说法正确的是 A“或”是真命题B“且”是假命题C“”为假命题D“”为假命题3若等比数列n满足：， ，则的值是 A B C 4 D24某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有 A50种 B70种 C35种 D55种5设，若， ，则 A B C
2、 D6 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则 最小值为ABC2D37已知等边的顶点在平面上，在的同侧，为中点，在上的射影是以为直角顶点的直角三角形，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是A B C D 8. 若是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有和的值是（ ）A、2010 B、2011 C、2012 D、2013 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分把答案填在题中横线上）9已知、分别是的三个内角、所对的边，若，则 。；10设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若，则展开式中的系数为 。11. 随机连接正方体ABCDABCD的任意两个顶点的直线中，
3、与AC成异面直线且所成角为60的直线的概率为 12. 已知圆O的方程为x2+y2=4，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|a覆盖，则实数a的取值围是_ 13设等差数列的前项和为,若，则的取值范围是 ；14设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和直线所围成三角形的边界及内部。当时，的最大值为_15设，定义，如果对任意的且，不等式恒成立，则实数的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题满分12分）某市举行一次数学新课程骨干培训，共邀请15名使用不同版本教材的教师，数据下所示： 版本人教A版人教B版性别男教师女教
4、师男教师女教师人数6342(1)从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？(2)培训活动随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.17（本小题满分12分）如图，已知AB平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。（I）求证：平面BCE平面CDE； （II）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。18.（本小题满分12分）已知椭圆的的右顶点为A，离心率，过左焦点作直线与椭圆交于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线交于点()求椭圆的方程； ()证明以线段为直径的圆经过焦点19.（
5、本小题满分12分）在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票。股民老王在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线对称。老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F。现在老王决定取点，点，点来确定解析式中的常数，并且已经求得
6、。（1）请你帮老王算出，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；（2）老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？20.（本小题满分13分）设函数。（1）求函数的单调区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于x的方程在上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。21.（本小题满分13分）已知函数在其定义域上满足（1）函数的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；（2）当时，求x的取值范围；（3）若，数列满足，那么： 若，正整数N满足 时，对所有适合上述条件的数列，恒成立，求最小的N；若，
7、求证：1B 2B 3C 4 A 5c 6A 7D 8C 910150；1112.a1 1314241516、解：(1)从15名教师中随机选出2名共种选法， 2分所以这2人恰好是教不同版本的男教师的概率是。 4分(2)由题意得 ； ；8分 故的分布列为012 10分所以，数学期望 12分17、解：（1）ACD为正三角形，AFCD。AB平面ACD，DE/AB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF。又AFCD，CDDE=D，AF平面CDE。 6分又BP/AF，BP平面CDE。又BP平面BCE，平面BCE平面CDE。 6分 （2）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y
8、，z轴（如图），建立空间直角坐标系Fxyz.设AC=2，则C（0，1，0），8分 10分显然，为平面ACD的法向量。设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45。12分19 ()解： 由已知 ， 椭圆方程为3分() 设直线方程为 ，由 得设，则5分设，则由共线，得 有 同理 7分，即，以线段为直径的圆经过点F；10分当直线的斜率不存在时，不妨设则有, ，即，以线段为直径的圆经过点F综上所述，以线段为直径的圆经过定点F 12分19解：（1）关于直线对称点坐标为，即，把A、B、C的坐标代入解析式，得 。得，得， 。， 代入得，再由得。，。于是，段的解析式为，由对称性得，段的解析式为。，解得。当时，股价见顶。（2）由（1）可知， ，故这次操作老王能赚元。21解：（1）依题意有若，则，得，这与矛盾，故的图象是中心对称图形，其对称中心为点（3分）（2），即又，得（6分）（3） 由得，由得，即令，则，又，当时，【或，】又也符合，即，得要使恒成立，只需，即，故满足题设要求的最小正整数.（9分） 由知，当时，不等式成立证法1：，当时，（12分）证法2：，当时，（12分）证法3：，当时，（12分）证法4：当时，（12分）证法5：，当时，综上，对任意的，都有（12分）