1、2020-2021学年度高三数学入学考试一、单选题1已知集合，则（ ）A B C D2已知i是虚数单位，若复数z满足在复平面内对应的点位于第一象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积，则（ ） A B C D34已知为等差数列的前项和，若，则（ ）ABCD5已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作，垂足为Q，若，则（ ）ABCD6设满足约束条件，则的最大值为（ ）ABCD7已知正项等比数列，则，则公比为（ ）ABCD8函数在上的大致图像是（ ）ABCD9已知向量，若，则_.A18B24C26D
2、2810实数的取值如下表所示：3456749101418从散点图分析与有较好的线性相关关系，并由最小二乘法求得回归直线方程为，则下列说法一定正确的是（ ）ABCD与11大小不确定11某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩服从正态分布，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（ ）参考数据：，A2300B3170C3415D46012已知函数和图象的一个公共点为，现给出以下结论：；和的图象在点处的切线的倾斜角互补；和的图象在点处的切线互相垂直.其中正确结论的序号是（ ）ABCD二、填空题13多项式，则_，_.14如
3、图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为_15如图所示，在边长为的正方形内，四条曲线均是在的图象，若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率_.16已知双曲线的离心率，点分别是它的下焦点和上焦点，若为该双曲线上支上的一个动点,则与到一条渐近线的距离之和的最小值为_三、解答题17在中，内角的对边分别为，满足，.（1）求；（2）若，求的面积.18某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为.（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学
4、生满意度打分不低于70分的人数；2）若打分的平均值不低于75分视为满意，判断该校学生对食堂服务是否满意？并说明理由(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)；（3）若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人至少有一人评分在的概率.19已知四棱锥，底面是菱形，.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点，若的面积为，求直线l的方程.21已知.（1）若在点处的
5、切线平行于轴，求其单调区间和极值;（2）若不等式对于任意的恒成立，求整数的最小值.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （1）求直线与曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求23选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知实数，均为正数，求证：.（2）已知，都是正数，并且，求证：.参考答案1B【分析】利用集合的并运算即可求解.【详解】因为，所以.故选：B2C【分析】设复数，根据在复平面内对应的点位于第一象限，得到，再由，利用复数的几何意义判断.【详解】设复数，则，因为在复平面内对应的点位于第一象限，所以，
6、即，则，所以复数在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C3B【分析】先由三视图，在长方体中还原该几何体，得到该几何体为三棱锥，由题中数据，结合棱锥的体积公式，即可得出结果.【详解】在长方体中还原该几何体如下，该几何体为三棱锥，又该几何体的体积，所以，解得.故选：B.4B【分析】先根据题意计算，即可计算，再经过转化计算即得结果.【详解】设公差为d，由两式作差可得，故，由得1，故，故，所以.故选：B.5D【分析】由条件求出，然后可得答案.【详解】虚轴长为，解得，则渐近线方程为，即.故选：D6D【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图形确定出目标函数的最优解，代入，即可求解.【详解】由题意，作出
7、约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数，可化为直线，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即，代入可得.故选：D.7B【分析】由等比数列性质求得，从而可得出，再由等比数列定义可得公比【详解】因为数列为正项等比数列，因为，所以，而，所以，所以公比，故选：B.8A【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证即可得答案【详解】解：因为，所以为奇函数，所以其图像关于原点对称，所以排除C，D，因为，所以排除B，故选：A9A【分析】先求出样本中心点（5,11），再代入，即可.【详解】由题意可知：，即样本中心点（5,11）由回归直线必过样本中心点，所
8、以故选：A【点睛】结论点睛：回归直线必过样本中心点.10A【分析】根据正态分布定义，求得比赛成绩不小于90分的学生人数所占比例，即可得结果.【详解】依题意知，所以则，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为故选：A11A【分析】对于根据函数和图象的一个公共点为判断；对于根据和在点处的切线不平行且不重合判断；对于由判断；对于假设和的图象在点处的切线互相垂直判断.【详解】对于因为，得，故正确；对于因为和在点处的切线不平行且不重合，所以，故错误；对于显然成立，故正确；对于假设和的图象在点处的切线互相垂直，则有，即，这与矛盾，故错误.故选：A.12 【分析】写出的展开式通项，分别令的指数分别为、，求出对
9、应的参数，即可求得、的值.【详解】的展开式通项为，.故答案为：；.13【分析】由平面确定点到平面的距离就是直线到平面的距离，建立坐标系求出平面的法向量为，最后由得出答案.【详解】因为，由线面平行的判定定理可知，平面则点到平面的距离就是直线到平面的距离以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：设平面的法向量为，则取，则则点到平面的距离为故答案为：14【分析】先由微积分基本定理求出空白部分的面积，再求出正方形的面积，得出阴影部分的面积，根据与面积有关的几何概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】因为四条曲线均是在的图象，所以空白部分的面积为，又正方形区域的面积为，所以阴影部分的面积为，因此
10、在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率.故答案为：.15【分析】根据离心率先求出双曲线的方程，得出渐近线方程，根据双曲线的定义可得：，所以，设点到一条渐进线的距离为，则，从而得出答案.【详解】双曲线的离心率所以，解得，所以 双曲线，由，的双曲线的渐进线方程为 由为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得： 所以，设点到渐进线的距离为 则，过作渐进线的垂线，垂足为,如图.所以所以同理与到渐近线的距离之和的最小值为5故答案为：5【点睛】关键点睛：本题考查利用双曲线的定义解决距离之和的最值问题，解答本题的关键是根据双曲线的定义可得：，所以，设点到渐进线的距离为，则，过作渐进线的垂线，属于
11、中档题.1626【分析】先由求出，求出，再进行的计算.【详解】因为，所以，解得，所以.故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法向量坐标化，利用坐标运算比较简单17（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得，再利用三角形的内角和性质以及诱导公式即可求解.（2）根据余弦定理求出，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）由正弦定理知，因为，所以，由，故.因为，所以.（2）由余弦定理及知.，.18（1），不低于70分的人数为人；（2）该校学生对食堂服务满意，理由见解析；（3）.【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率的和为1可计算出值，求出不低于70分的
12、频率可估计出人数；（2）取各组数据中点值为估计值乘以频率相加可得平均值，从而得结论；（3）由频率得抽取的5人中在和上的人数，分别编号后用列举法写出所有基本事件，并得出两人都在内的可能结果从而结合对立事件的概率公式可得结论【详解】解：由频率分布直方图可知，解得.该校学生满意度打分不低于70分的人数为人.（2）打分平均值为：.所以该校学生对食堂服务满意.（3）由频率分布直方图可知：打分在和内的频率分别为0.04和0.06，抽取的5人采用分层抽样的方法，在内的人数为2人，在内的人数为3人.设内的2人打分分别为内的3人打分分别为，则从的受访学生中随机抽取2人，2人打分的基本事件有：，共10种.其中两人
13、都在内的可能结果为，则这2人至少有一人打分在的概率.【点睛】关键点点睛：本题考查频率分布直方图，考查分层抽样与古典概型在频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得频率分布直方图缺少的数据古典概型问题中如果事件空间中基本事件的个数不是太多的可以用列举法写出所有基本事件，从而计算出概率如果事件的个数较多，不便于列举，可以利用计数原理计数，从而得出概率19（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点为，连接，根据，可得，在中，利用余弦定理，可求得AM，利用勾股定理，可得，根据面面垂直的判定定理，即可得证.（2）方法1：根据，可得，结合（1）利用线面垂直的判定定理，可得平面，所以，则可求得的面积
14、，设点到平面的距离为，利用等体积法，可求得h，根据三角函数的定义，即可求得答案；方法2：因为，可证，结合（1）以为原点，以，为，轴建系，求得各点坐标，进而可得，坐标，可得平面的一个法向量，根据线面角的向量求法，即可求得答案.【详解】解：（1）证明：取的中点为，连接，如图所示因为，所以.设，则，.在中，所以，即.又因为且平面， 所以平面.又平面，所以平面平面.（2）方法1：体积法.三棱锥的体积.因为为的中点，所以.又， 平面PBM，所以平面，所以.又，所以，所以.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.所以，解得.设直线与平面所成角为，又，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.方法2：坐标法.因为，
15、M为DC中点，所以，由（1）知平面.所以以为原点，以，为，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，.所以，.设平面的一个法向量为，则，即，令x=1，可取.又，设直线与平面所成角为所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】解题的关键是熟练掌握线面垂直，面面垂直的判定及性质定理，并灵活应用，求解线面角时，常用坐标法，求得平面的法向量及直线的方向向量，法向量与方向向量的夹角的余弦值即为线面角的正弦值.20（1）；（2）或.【分析】（1）根据题中条件，结合椭圆的性质，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程；（2）先由题中条件，确定直线l的斜率存在，设直线的方程为，根据直线与圆相切，得出，设，联立直线与椭圆方程，
16、根据韦达定理，结合弦长公式，点到直线距离公式，以及三角形面积公式，由的面积为，列出方程求出，得出，进而可得直线方程.【详解】（1）由题意椭圆C长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上，可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）因为切点在第一象限，直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，即，且，因为直线与圆相切，所以，即，联立，得，设，则有，所以，点到直线的距离为，可得，解得，或，当时，当时，所以，或，则直线方程为或.【点睛】思路点睛：由圆锥曲线中三角形的面积求参数时，一般需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理、弦长公式，以及三角形面积公式，表示出三角形的面积，结合题中条件列出方程求解，即可得出参数，从而可得
17、出结果.21（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为；（2）或2.【分析】（1）利用消去参数可得曲线的普通方程，将代入直线方程可得直线的普通方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式建立关系可求出.【详解】（1）由得，平方相加利用消去参数可得，故曲线的普通方程为，将代入直线方程得，故直线的普通方程为；（2）可知曲线是以为圆心，3为半径的圆，则圆心到直线的距离，解得或2.22（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）化简后利用基本不等式证明即可；（2）利用作差法，变形为，然后判断符号可得结果【详解】（1），又因为，所以，由基本不等式得，当且仅当时，取等号，即时取等号，所以.（2）
18、因为，都是正数，所以，又，所以，所以，所以，即.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方23（1）增区间为，减区间为，的极大值为，无极小值；（2）2.【分析】（1）根据解得，再利用导数知识可求得单调区间和极值；（2）将不等式化为，再构造函数，利用导数知识可求得结果.【详解】（1），则，定义域为，令，得;令，得的增区间为，减区间为，且的极大值为，无极小值.（2）因为，所以不等式对于任意的恒成立，可化为，设，则 ，设，则单调增，且，使，即 ，所以，所以当时，当时，在单调递增，在单调递减，的最小整数值为。【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：若在上恒成立，则；若在上恒成立，则；若在上有解，则；若在上有解，则；
