1、第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算课后篇巩固提升基础达标练1.化简(AB-CD)-(AC-BD)的结果是()A.0B.ADC.BCD.AB答案A2.(多选题)下列说法错误的是()A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线答案ABC3.空间任意四个点A,B,C,D,则DA+CD-CB等于()A.DBB.ACC.ABD.BA解析DA+CD-CB=(CD+DA)-CB=CA-CB=BA.答案D4.已知MA,MB是空间两个不共线的向量,MC=3MA-2M
2、B,那么必有()A.MA,MC共线B.MB,MC共线C.MA,MB,MC共面D.MA,MB,MC不共面解析由共面向量定理知,MA,MB,MC共面.答案C5.在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式中成立的是()A.EB+BF+EH+GH=0B.EB+FC+EH+GE=0C.EF+FG+EH+GH=0D.EF-FB+CG+GH=0解析EB+FC=EB+BF=EF,EH+GE=GH,易证四边形EFGH为平行四边形,故EF+GH=0,故选B.答案B6.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点E为A1D1的中点,设AB=a,AD=b,AA1=
3、c,则CE=()A.-a-12b+cB.a-12b+cC.a-12b-cD.a+12b-c解析根据向量减法的三角形法则得到CE=AE-AC=AA1+A1E-(AB+BC)=c+12b-a-b=-a-12b+c.故选A.答案A7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心,若EF+A1D=0(R),则=.解析在C1A1D中,EF是其中位线,所以EFA1D,且EF=12A1D,因此当EF+A1D=0时,=-12.答案-128.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,且A,B,D三点
4、共线,则实数k的值是.解析因为BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,所以BD=BC+CD=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.又因为A,B,D三点共线,所以AB=BD,所以e1+ke2=(6e1+6e2).因为e1,e2是不共线向量,所以1=6,k=6,故k=1.答案19.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为5的所有向量.(3)试写出与AB相等的所有向量.(4)试写出AA1的相反向量.解(1)模为1的向量有A1A,AA1,B1B,BB1,C1
5、C,CC1,D1D,DD1,共8个单位向量.(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为5,因此模为5的向量为AD1,D1A,A1D,DA1,BC1,C1B,B1C,CB1.(3)与向量AB相等的向量(除它自身之外)为A1B1,DC及D1C1.(4)向量AA1的相反向量为A1A,B1B,C1C,D1D.能力提升练1.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形ABCD是()A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形解析由已知得AB=DC,即AB,DC是相等向量,因此AB,DC的模相等,方向相同,即四边形ABCD是平行四边形.答案B2.(多选题)已知正方体AB
6、CD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中错误的是()A.OA+OD与OB1+OC1是一对相等向量B.OB-OC与OA1-OD1是一对相反向量C.OA1-OA与OC-OC1是一对相等向量D.OA+OB+OC+OD与OA1+OB1+OC1+OD1是一对相反向量解析选项A中是一对相反向量,B中是一对相等向量,C中是一对相反向量,D中也是一对相反向量.答案ABC3.已知空间四边形OABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示向量MN为()A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.-12a+12b+12cD.-12a+12b-12
7、c解析如图所示,连接ON,AN,则ON=12(OB+OC)=12(b+c),AN=12(AC+AB)=12(OC-2OA+OB)=12(-2a+b+c)=-a+12b+12c,所以MN=12(ON+AN)=-12a+12b+12c,故选C.答案C4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1,那么M必()A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内解析由于PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1=PB1+BA+6BA1-4A1D1=PB1+B1A1+6BA1-4A1D1=PA1+6(PA
8、1-PB)-4(PD1-PA1)=11PA1-6PB-4PD1,因此M,B,A1,D1四点共面.答案C5.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任一点,若由OP=15OA+23OB+OC确定的一点P与A,B,C三点共面,则=.解析因为点P与A,B,C三点共面,所以15+23+=1,解得=215.答案2156.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为DD1的中点,点N在AC上,且ANNC=21,求证:A1N与A1B,A1M共面.证明A1B=AB-AA1,A1M=A1D1+D1M=AD-12AA1,AN=23AC=23(AB+AD),A1N=AN-AA1=23(AB+AD)-AA1=23(AB-AA1)+23AD-12AA1=23A1B+23A1M,A1N与A1B,A1M共面.素养培优练如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=23CD.求证:四边形EFGH是梯形.证明E,H分别是边AB,AD的中点,AE=12AB,AH=12AD,EH=AH-AE=12AD-12AB=12BD.又FG=CG-CF=23CD-23CB=23(CD-CB)=23BD,EH=34FG,EHFG,|EH|=34|FG|.又点F不在EH上,四边形EFGH是梯形.