1、第七章立体几何第一讲空间几何体的结构及其表面积和体积A组基础巩固一、单选题1下列结论中正确的是(D)A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B两个面平行且相似，其余各面都是梯形的几何体是棱台C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线解析当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；如右图可知，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必须要大于底面边长，故C错误选D.2(2022湖北黄冈市模拟)已知圆锥的母线长为3，其侧面
2、展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面面积是(B)AB2C3D4解析设圆锥底面半径为r，则3r，解得r，S底r22.故选B.3(2021辽宁沈阳市郊联合体期末)已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为(D)A12B24C36D48解析由题意可知圆柱的高为8，圆柱的侧面积S6848.故选D.4(2022四川成都零诊)在三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，PAABBC2，AC2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(C)A4B10C12D48解析在ABC中，由ABBC2，AC2，所以AC2AB2BC2，所以ABBC，由PA
3、平面ABC，则三棱锥PABC可以补成以AB，BC，PA为棱的正方体，可得正方体的外接球和三棱锥PABC的外接球为同一个球，设该球的半径为R，则2R2，解得R，所以该球的表面积为S4R24()212.故选C.5.(2022陕西安康质检)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为(B)ABCD解析由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则其体积为2，其表面积为8228，所以此正八面体的体积与表面积之比为.6(2022湖南三湘名校联盟大联考)已知球O的半径为2，
4、三棱锥PABC四个顶点都在球O上，球心O在平面ABC内，ABC是正三角形，则三棱锥PABC的最大体积为(B)A3B2CD3解析由于球O的半径为2，ABC是正三角形，所以4，AB2，三棱锥PABC的最大体积为(2)222.7(2022山西运城调研)在四面体ABCD中，ABAC2，BC6，AD平面ABC，四面体ABCD 的体积为.若四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是(B)AB49CD4解析如图，H为BC的中点，由题意易知AH，设ABC外接圆圆心为O1，则|O1C|232(|O1C|)2，|O1C|2，又6，|AD|1，则|OA|2|O1C|22，S球O4R249，故选B.8(2
5、022天津河西区质检)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此三棱锥的体积为(C)ABCD解析根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABC.CO1，OO1，高SD2OO1，ABC是边长为1的正三角形，SABC，VSABC.故选C.9(2019全国)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E、F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为(D)A8B4C2D解析PAPBPC，ABC为边长为2的等边三角形，
6、PABC为正三棱锥，PBAC，又E，F分别为PA、AB中点，EFPB，EFAC，又EFCE，CEACC，EF平面PAC，PB平面PAC，APB90，PAPBPC，PABC为正方体一部分，2R，即R，VR3.二、多选题10(2021河北沧州模拟)三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为棱长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则(BD)A该玉琮的体积为18(cm
7、3)B该玉琮的体积为27(cm3)C该玉琮的表面积为54(cm2)D该玉琮的表面积为549(cm2)解析由图可知，组合体的体积V43333227(cm3)，组合体的表面积S312334224549(cm2)故选BD.11(2021山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(AB)AB(1)C2D(2)解析绕直角边旋转形成几何体为圆锥，其表面积Srlr2112(1).如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积S2rl21.故选AB.1
8、2(2021陕西商洛期末改编)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的每个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为12，则该四棱柱的侧面积的值可能为(ABC)A10B12C16D18解析设球O的半径为R，则4R212，得R.设正四棱柱的底面边长为x，高为h，则正四棱柱的体对角线即为球O的直径，则有2R2，即2x2h212，由基本不等式可得122x2h22xh，xh3，当且仅当hx时，等号成立，因此，该四棱柱的侧面积为4xh4312，即四棱柱的侧面积得取值范围为(0，12，故选ABC.三、填空题13(2020海南)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥
9、ANMD1的体积为.解析由题意可知VANMD1VD1AMN2.14(2021安徽合肥质检)如图，AB是圆O的直径，点M是的中点若AB2，则图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成的几何体的表面积等于(2).解析所形成的几何体为底面半径为1，母线长为的圆锥和一半径为2的半球，S2.15(2022上海虹口区模拟改编)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，满足D1P与直线CC1所成角的大小为，则线段D1P扫过的面积为.解析由题意可知，D1P扫过的曲面为一圆锥侧面的，由DD11，DD1P知DP，D1P.故所求面积S.16(2022河南中原名校质量测评)
10、已知正三棱锥PABC的底面边长为3，若外接球的表面积为16，则PA2或2.解析由外接球的表面积为16，可得其半径为2，设ABC的中心为O1，则外接球的球心一定在PO1上，由正三棱锥PABC的底面边长为3，得AO1，在RtAOO1中，由勾股定理可得(PO12)2()222，解得PO13或PO11，又PA2POAO，故PA2或PA2，故答案为2或2.B组能力提升1(2021陕西西安质检三)如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1.若将圆锥形容器倒置，水面高为h.则h等于.解析设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为S，水的体积V2SS(21)S，设倒置后液面面积为S，则2，S，水的体积为
11、VSh ，S，解得h.2(2020新课标)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为(A)A64B48C36D32解析由题意可知图形如图：O1的面积为4，可得O1A2，则2O1A4，AB4sin602，ABBCACOO12，外接球的半径为：R4，球O的表面积为：44264，故选A.3(多选题)(2022江苏苏州期中)如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则(BD)ACP的最小值为B当P在直线AE上运动时，三棱锥DBPF的体积不变CPDPF的最小值为D三棱锥A
12、DCE的外接球表面积为3解析选项A：连接DP，CP，易得CP，错误；选项B：P运动过程中，BPF的面积不变，D到平面BPF的距离也不变，故体积不变，正确；选项C：如图，将ADE翻折到与平面ABFE共面显然当D，P，F三点共线时，PDPF取等最小值，错误；选项D：将该几何体补成正方体，易得：R，则S4R23，因此，选BD.4(2022新高考八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为 61 .解析圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O，则圆台的高OO3，据此可得圆台的体积：V3(525442)61.5(2021四川内江三模)现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为 72 .解析设圆锥体包装盒的底面半径为r，高为h，由RtSOCRtSBD可得：，即，r2，包装盒的体积Vr2h33372.当且仅当h6即h12时取等号故答案为72.