1、第3课时用空间向量解决空间角与距离问题内容标准学科素养1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成的角2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小4.理解点到面的距离，会用向量方法求点到平面的距离.应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第71页基础认识知识点一空间角的向量求法(1)两异面直线所成角的范围是多少？(2)直线与平面所成的角是怎样定义的？它的取值范围是多少？(3)怎样作出二面角的平面角？它的取值范围是多
2、少？提示：(1)(0，90(2)直线与它在该平面上的射影所成的角，叫做直线与平面所成的角取值范围为0，90(3)过二面角棱上任一点O在两个半平面内分别作棱的垂线OA、OB，则AOB就是二面角的平面角取值范围为0，180(1)两异面直线l，m的方向向量分别是a，b，则异面直线所成的角，有cos |cosa，b|.(2)直线与平面的方向向量和法向量分别为a，n，则直线与平面所成的角为，则sin |cosa，n|.(3)如图AB、CD是二面角l的两个半平面与棱垂直的直线，则二面角的大小AB，CD 知识梳理空间三种角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结
3、合它们的取值范围可以用向量法进行求解角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量分别为a，b，则cos |cosa，b|直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为 ，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cosa，n|二面角设二面角l为，平面，的法向量分别为n1，n2，则|cos |cosn1，n2|0，知识点二利用空间向量求距离知识梳理点到平面的距离用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长如图，设n(a，b，c)是平面的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为外一点，P(x
4、，y，z)是平面内的任意一点，则点P0到平面的距离d.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题自我检测1若异面直线l1，l2的方向向量分别是a(0，2，1)，b(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于()AB.C D.答案：B2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60C150 D30答案：D3二面角l中，平面的一个法向量为n1，平面的一个法向量是n2，那么二面角l的大小等于()A120 B150C30或150 D60或120答案：C授课提示：对应学生用书第72页探
5、究一利用向量方法求两异面直线所成角教材P111习题3.2A组1题如图，点M，N分别是正方体ABCDABCD的棱BB和BC的中点，求：(1)MN和CD所成角的大小；(2)MN和AD所成角的大小解析：以，为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则C(0,1,0)，D(0,0,1)，A(1,0,0)，M，N，(0，1,1)，(1,0,0)，.(1)cos，60，即MN和CD所成角的大小为60.(2)cos，45，即MN和AD所成角的大小为45.例1如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和B
6、C1所成的角解析分别以直线BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)设AB1，则B(0,0,0)，E，F，C1(0,1,1)，所以，(0,1,1)于是cos，所以直线EF和BC1所成角的大小为60.方法技巧1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角2求两条异面直线所成的角的两个关注点(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角(2)范围：异面直线所成角的范围是，故两直线
7、方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值跟踪探究1已知在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()A.B.C D解析：A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，(0，2,2)，(0,1,2)，|2，|，0242，cos，又异面直线所成角的范围是，AB1与ED1所成角的余弦值为.故选A.答案：A探究二利用向量方法求直线与平面所成角教材P113页习题3. 2A组10题如图，线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB，且AB7，ACBD24，CD25，求线段BD与平面所成的角解析：，2
8、22，2522427224222424cos，cos，120，AC与BD的夹角为60，BD与平面所成的角为30.例2如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB的中点(1)求证：PBDM；(2)求BD与平面ADMN所成的角解析(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设BC1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M.(2,0，2)0，PBDM.(2)(2,0，2)(0,2,0)0，PBAD.又P
9、BDM，ADDMD，PB平面ADMN.即为平面ADMN的一个法向量因此，的余角即是BD与平面ADMN所成的角cos，且，0，BD与平面ADMN所成的角为.方法技巧1.利用向量方法求直线与平面夹角的两种思路(1)思路一：根据线面角的定义，若直线PA与平面相交于点A，PO于点O，则AO即为直线PA在平面内的射影，这时直线与平面所成角，(2)思路二：利用平面的法向量，将直线与平面所成的角转化为其方向向量与平面法向量所成的锐角的余角进行求解以上两种思路中，思路一需要用到线面角的定义，在解题中并不实用，而思路二则不需要找出要求的角，只需利用法向量求解即可，因此一般多采用思路二2利用平面的法向量求直线与平
10、面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线PA的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)设线面角为，则sin .跟踪探究2.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值解析：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.CACB，OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，OA1AB.OCOA1O，AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B
11、1B，交线为AB，OC平面ABC，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，OA，OA1，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设AB2，则A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)，则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.探究三利用向量方法求二面角阅读教材P106例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，C
12、D的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值题型：利用向量法求二面角的大小方法步骤：(1)根据向量加法法则表示出；(2)根据a2|a|2，求出；(3)根据求出与的夹角即为二面角的平面角例3如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值解析取BC的中点O，连接AO，因为ABC是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间
13、直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)设平面A1AD的法向量为n(x，y，z)，(1,1，)，(0,2,0)因为n，n，所以得所以令z1，得n(，0,1)为平面A1AD的一个法向量又因为(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)，所以2200，1430，所以，即AB1BD，AB1BA1，且BDBA1B，所以AB1平面A1BD，所以是平面A1BD的一个法向量，所以cosn，又二面角AA1DB为锐二面角，所以二面角AA1DB的余弦值为.方法技巧利用向量方法求二面角的大小时，多采用法向量法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的
14、夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐二面角还是钝二面角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来跟踪探究3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BCAB2，ABBC，求二面角B1A1CC1的大小解析：如图，建立空间直角坐标系则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，设AC的中点为M，连接BM，因为BMAC，BMCC1，所以BM平面A1C1C，即(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量设平面A1B1C的一个法向量是n(x，y，z)，(2,2，2)，(2,0,0)，所以n2x0，
15、n2x2y2z0，令z1，解得x0，y1，故n(0,1,1)设法向量n与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角因为cos |cos |，解得，所以二面角B1A1CC1的大小为.探究四空间中的距离阅读教材P105例1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？题型：利用向量求空间中的距离方法步骤：(1)不妨设三棱AB、AD、AA1的长为1；(2)利用向量的加法法则；(3)将上式两边平方，得26，即|即为所求例4已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C
16、1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)所以(0,1,0)，(2,1,1)，(1，1,2)设n(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，则所以所以令z1，此时n(1,1,1)，所以d，即点A到平面EFG的距离为.方法技巧向量法求距离(1)求P，Q两点间的距离，可转化为求的模(2)点到平面距离的求法：设n是平面的法向量，B是平面外一点，A是平面内一点，AB是平面的一条斜线，则点B到平面
17、的距离为d.(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离求解跟踪探究4.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离解析：因为点E，F分别为BB1，CC1的中点，所以EFB1C1A1D1.又因为A1D1平面EFGH，EF平面EFGH，所以A1D1平面EFGH，所以点D1到平面EFGH的距离即为D1A1到平面EFGH的距离以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则E，F，G，D1(0,0,1)，所以(1,0,0)，.设平面
18、EFGH的法向量为n(x，y，z)，则即令z6，可得n(0，1,6)设D1A1到平面EFGH的距离为d，连接D1F，又，所以d，即D1A1到平面EFGH的距离为.授课提示：对应学生用书第73页课后小结利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为两个向量夹角的关系，解决方法一般有两种，即坐标法和基向量法，当题目中有明显的线面垂直关系时，尽量建立空间直角坐标系，用坐标法解决需要注意的是要理清所求角与向量夹角之间的关系，以防求错结果素养培优1对空间角与向量夹角之间的关系理解不清致误在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_易错分析将向量夹角的余弦值等同于二面角的余弦值自我纠正因为cos ，所以这个二面角的余弦值为或.答案：或2正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角ABD1C的大小易错分析用法向量的夹角判断二面角的大小时出现错误，根据法向量的方法可知，二面角为钝角，而不是锐角自我纠正以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)由题意知(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量所以cos，所以，60.所以二面角ABD1C的大小为120.