1、山东省2013届高三高考模拟卷（四）数学（文科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，若，则的值为A2 B1 C D2定义运算，则符合条件的复数是A B C D3. “或”为真命题是“且”为真命题的A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4. 定义某种运算，运算原理如图所示，则式子的值为A13 B11 C8 D45. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直
2、角三角形，则该三棱锥的正视图可能为 6已知圆C的方程为，当圆心C到直线的距离最大时，的值为A B C D57. 如果函数的两个相邻零点之间的距离为，则的值为A3 B6 C12 D248已知向量，且，则的最小值为A4 B10 C16 D209设，函数的图象可能是10已知斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且与轴相交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为A BC或 D或11. 在ABC中，已知，且最大角为，则这个三角形的最大边等于A4 B14 C4或14 D2412定义在R上的偶函数，对任意，有，则A BC D第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填写在答题纸的
3、相应位置13如图，在一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为_平方米14已知变量满足约束条件，且目标函数的最小值为，则常数_15. 已知四棱柱中，侧棱底面ABCD，且，底面ABCD的边长均大于2，且，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥体积的最大值为_16对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则_三、解答题：本大题共6个小题，共74分解答应写文字说明、证
4、明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置17（本小题满分12分）已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为，且，(1)求cosC的值；(2)当时，求函数的最大值18. (本小题满分12分)已知数列满足：，数列的前项和为，且，(1)求数列，的通项公式；(2)令数列满足，求数列的前项和19(本小题满分12分)为了了解某年级1 000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，被抽取学生的成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组；第二组：；第五组17，18按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3819，且第二组的频数
5、为8(1)将频率当作概率，请估计该年级学生中百米成绩在内的人数；(2)求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩； (3)若从第一、五组中随机取出两名学生的成绩，求这两名学生的成绩的差的绝对值大于1的概率20(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中ADAB，CDAB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点(1)求证：DE平面PBC；(2)求三棱锥A-PBC的体积21. （本小题满分13分）已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M：的切线与
6、椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，22. （本小题满分13分）已知是函数的两个极值点(1)若，求函数的解析式；(2)若，求实数的最大值；(3)设函数，若，且，求函数在内的最小值(用表示)山东省2013届高三高考模拟卷（四）数学（文科）参考答案一、1B【解析】因为，所以又因为，而B中最多有两个元素，所以，所以选B2.A【解析】设根据定义运算得，即，根据复数相等的定义得得所以3.C【解析】若命题“或”为真命题，则中至少有一个为真命题；若命题“且”为真命题，则都为真命题因此“或为真命题是“且”为真命题的必要不充分条件故选C4A 【解
7、析】原式1) =135C【解析】由于空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，由于正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综上可知，这个空间几何体的正视图可能是C6A【解析】圆C的方程可化为，所以圆心C的坐标为，又直线恒过点，所以当圆心C到直线的距离最大时，直线CA应垂直于直线，因为直线CA的斜率为，所以，7C 【解析】由正弦函数的性质可知，两个相邻零点之间的距离为周期的一半，即该函数的周期，故，解得故选C8C【解析】由，得，则，即，故，当且仅当时等号成立9C【解析】由解析式可知，当时，
8、由此可以排除A、B选项又当时，从而可以排除D故选C10D【解析】抛物线的焦点坐标是，直线的方程是，令，得，故，所以OAF的面积为，由题意，得，解得故抛物线方程是或故选D11B 【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以大于，则，由余弦定理得 ，所以，所以或（舍去）12A【解析】由已知条件可知，函数在上单调递减，因此，又为偶函数，则，从而二、13【解析】设该不规则图形的面积为平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，所以根据几何概型的概率计算公式可知，解得149【解析】先根据约束条件画出变量满足的可行域如图中阴影部分所示易知直线与的交点为，观察图形
9、可知目标函数在点处取得最小值，即，解得15【解析】由条件可得，A、M、P、N四点在以PA为直径的圆上，所以由正弦定理得，所以、在PMN中，由余弦定理可得，当且仅当PM= PN时取等号，所以，所以底面PMN的面积，当且仅当PM= PN时取最大值，故三棱锥的体积1611【解析】由，可知由，可知，易知，则21是53的分解中最小的正整数，可得故三、17【解析】(1)在ABC中，因为，所以（2分）又，所以，或（舍），（4分）所以（6分）(2)由(1)知，（7分）所以，（10分）又，所以（12分）18【解析】(1)由已知可知数列为等差数列，且首项为1，公差为1数列的通项公式为（2分），数列为等比数列，（4
10、分）又，数列的通项公式为（6分）(2)由已知得：，（8分）两式相减得（10分）数列的前项和（12分）19【解析】(1)百米成绩在内的频率为，所以估计该年级学生中百米成绩在内的人数为320（4分）(2)设图中从左到右的前3个组的频率分别为依题意，得，解得（6分）设调查中随机抽取了名学生的百米成绩，则，解得，故调查中随机抽取了50名学生的百米成绩（8分）(3)百米成绩在第一组的学生人数为，记他们的成绩为，百米成绩在第五组的学生人数为，记他们的成绩为，则从第一、五组中随机取出两名学生的成绩包含的基本事件有：，共21个，（10分）其中满足成绩的差的绝对值大于1的基本事件有：，共12个，所以所求概率（1
11、2分）20【解析】(1)如图，取AB的中点F，连接DF，EF在直角梯形ABCD中，CDAB，且AB=4，CD=2，所以，所以四边形BCDF为平行四边形，所以DFBC（2分）在PAB中，PA=EA，AF=FB，所以EF/PB又因为DFEF=F，PBBC=B，所以平面DEF平面PBC. （4分）因为DE平面DEF，所以DE平面PBC（6分）(2)取AD的中点O，连接PO在PAD中，PA=PD=AD=2，所以POAD，（8分）又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD直角梯形ABCD中，CD/AB，且AB=4，AD=2，ABAD，所以，（10分）故三棱锥A-PB
12、C的体积（12分）21【解析】(1)因为椭圆C的离心率，所以，即（4分）因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，所以，所以椭圆C的方程为（6分）(2)(i)当直线的斜率不存在时因为直线与圆M相切，故其中的一条切线方程为由不妨设，则以AB为直径的圆的方程为（6分）(ii)当直线的斜率为零时因为直线与圆M相切，所以其中的一条切线方程为由不妨设，则以AB为直径的圆的方程为显然以上两圆都经过点O(0，0)（8分）(iii)当直线的斜率存在且不为零时设直线的方程为由消去，得，所以设，则，所以所以（11分）因为直线和圆M相切，所以圆心到直线的距离，整理，得， 将代入，得，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0)综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)（13分）22【解析】(1)因为，是函数的两个极值点，所以，（2分）所以，解得，所以（4分）(2)因为是函数的两个极值点，所以，所以是方程的两根，因为，所以对一切，恒成立，而，又，所以，所以，由，得，所以因为，所以，即（6分）令，则当时，所以在(0，4)上是增函数；当时，所以在(4，6)上是减函数所以当时，有极大值为96，所以在上的最大值是96，所以的最大值是（8分）(3)因为是方程的两根，且，所以，又，所以，所以，其对称轴为，因为，所以，即，（11分）所以在内函数的最小值（13分）