1、第五讲椭圆A组基础巩固一、单选题1(2021广东深圳二模)已知椭圆C：1(a0)的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|FP|，则C的方程为(D)A1B1C1D1解析根据对称性知P在x轴上，|OF|FP|，故a2c，a23c2，解得a2，c1，故椭圆方程为：1.故选：D.2(2021河北省衡水中学模拟)已知椭圆C：1(ab0)和直线l：1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(A)ABCD解析直线l的斜率为，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以，又b2c2a22c2a2c2a2，所以e，故选A.3(2021江西景德镇一中月考)在平面直角坐标系xOy中
2、，已知椭圆1(ab0)的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为(C)ABCD解析如图，A(0，b)，B(0，b)，C(a,0)，F(c,0)，因为O，F，P，A四点共圆，AOC，所以APF，所以ACBF，即kACkBF1，1，整理可得b2ac，所以a2c2ac，e2e10，解得e，因为0eb0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为(D)A1By21C1D1解析直线AB的斜率k1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得：1，1，相减化为：0，又c
3、3，a2b2c2.联立解得：a218，b29.可得：椭圆M的方程为1.故选D.5(2021广东广州、深圳调研)已知F是椭圆E：1(ab0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|3|QF|，且PFQ120，则椭圆E的离心率为(A)ABCD解析设椭圆的右焦点F，连接PF，QF，根据椭圆对称性可知四边形PFQF为平行四边形，则|QF|PF|，且由PFQ120，可得FPF60，所以|PF|PF|4|PF|2a，则|PF|a，|PF|a，由余弦定理可得(2c)2|PF|2|PF|22|PF|PF|cos 60(|PF|PF|)23|PF|PF|，即4c24a2a2a2，椭圆的离心
4、率e，故选A.6(2022广东汕头模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，直线ykx与该椭圆交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(A)ABCD2解析联立(b2a2k2)x2a2b2，则x，由题意知c，e，a2c，bc，代入可得c2k.故选A.7(2021江西吉安联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，B是椭圆C的上顶点，直线xc与直线BF2交于点A，若AF1F2，则椭圆C的离心率为(A)ABCD解析由题设知，B(0，b)，F2(c,0)，直线BF2的方程为1，联立得，A，设直线xc与x轴交于点M，则|F1M|c，|MA|b，AF1F2，
5、|F1M|MA|，即cb，b2c，a2c24c2，即a25c2，e2e，故选A.二、多选题8(2021山东济宁期末)已知P是椭圆C：y21上的动点，Q是圆D：(x1)2y2上的动点，则(BC)AC的焦距为BC的离心率为C圆D在C的内部D|PQ|的最小值为解析依题意可得c，则C的焦距为2，e.设P(x，y)(x)，则PD2(x1)2y2(x1)212，所以圆D在C的内部，且PQ的最小值为，故选BC.9(2021海南三模)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道上绕月飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道上绕月飞行，最后在Q点处变轨进入以F为
6、圆心的圆形轨道绕月飞行，设圆形轨道的半径为R，圆形轨道的半径为r，则(BD)A椭圆轨道上任意两点距离最大为2RB椭圆轨道的焦距为RrC若r不变，则R越大，椭圆轨道的短轴越短D若R不变，则r越小椭圆轨道的离心率越大解析由题可知椭圆轨道的半径为R，为椭圆，设为1，所以acR，为圆形轨道，半径为r，所以acr，对于A：由题可知椭圆上任意两点最大距离为2aRr2R，故A不正确；对于B：椭圆的焦距为2c，得，2cRr，故B正确；对于C：由得a，c，所以2b222，若r不变，R越大，2b越大，故C不正确；对于D，e11，R不变，r越小，越大，越小，则e越大，故D正确故选BD.10(2022江苏如皋中学期初
7、测试)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为6，焦点为F1、F2，长轴的端点为A1、A2，点M是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆C的离心率为e，则下列说法正确的是(ABD)A若MF1F2的周长为16，则椭圆的方程为1B若MF1F2的面积最大时，F1MF2120，则eC若椭圆C上存在点M使0，则eD以MF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切解析对于A选项，MF1F2的周长为2a2c2a616，则a5，b4，即椭圆的方程为1，所以A正确；对于B选项，当MF1F2的面积最大时，点M为短轴端点，又F1MF2120，所以在MF1O中，sin 60e，所以B正确；对于C选项，设H为短轴的端点，则OHF2，即cb
8、，c2a2c2，解得e，又0e3)的左、右焦点，P为椭圆上一点且满足F1PF2120，则|PF1|PF2|的值为 36 .解析由题意知4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 120(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|4a2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4(a2c2)4b236.13(2022四川内江零模)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆上一点，AF2F1F2，若原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则该椭圆的离心率为.解析如图，易知OEF1AF2F1，|AF1|AF2|4|AF2|2a，|AF2|a，又|AF1|2|AF2|2|F1F2|
9、2，a24c2，解得e.四、解答题14(2021江苏质检)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，焦距为2.(1)求C的方程；(2)若斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列解析(1)由题意可得解得又b2a2c21，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线l的方程为yxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y，得x22mx2(m21)0，则4m28(m21)4(2m2)0，且x1x22m0，x1x22(m21)0，故y1y2x1x2m(x1x2)m2，kOPkOQk，即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数
10、列15(2022安徽六校教育研究会联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，长轴长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围解析(1)由题意易得，a2，又e，c2，b2a2c24，椭圆C的标准方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kmx2m280，所以由0，得m2，即k或kb0)的左、右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为(A)A1BCD解析由题意得：PF1PF2
11、，且|PF2|c，又|PF1|PF2|2a，|PF1|2ac，由勾股定理得：(2ac)2c24c2e22e20，解得：e1，故选A.2(2021全国卷优生联赛)若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是(C)A1B1C1D1解析设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和2m，则2mm2a，即m.因为mac，则ac，即a3c.经检验，椭圆1满足要求，选C.3(2019课标，10)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为(B)Ay21
12、B1C1D1解析设|F2B|x(x0)，则|AF2|2x，|AB|3x，|BF1|3x，|AF1|4a(|AB|BF1|)4a6x，由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a4x，所以|AF1|2x.在BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2|BF2|2|F1F2|22|F2B|F1F2|cosBF2F1，即9x2x2224xcosBF2F1，在AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF2|F1F2|cosAF2F1，即4x2 4x2228xcosBF2F1，由得x，所以2a4x2，a，所以b2a2c22.所以椭圆的方程为1.故选B.4(2022四川内江零模)已知A，B
13、是椭圆C：y21上的两点(1)若直线AB的斜率为1，求|AB|的最大值；(2)线段AB的垂直平分线与x轴交于点N(t,0)，求t的取值范围解析(1)设直线AB的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程，得4x26mx3m230，所以x1x2，x1x2，4812m20，所以|AB|.当m0(满足0)时，|AB|取得最大值.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，第一种情况，若直线AB平行于x轴，则线段AB的垂直平分线为y轴，即t0，第二种情况，若直线AB不平行于x轴，又因为线段AB的垂直平分线与x轴相交，所以直线AB不平行于y轴，即x1x2，由，
14、两式相减整理得，因为M(x0，y0)是AB的中点，所以2x0x1x2,2y0y1y2，因为MNAB，所以kAB，所以变形为，化简得tx0，其中x00或0x0，所以t0或0tb0)，四点P1，P2，P3(0，)，P4(1,1)中恰有三点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：ykxm(m0)与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点M，N，当MON面积取最小值时，求此时直线l的方程解析(1)根据椭圆的对称性，必过P1，P2.必不过P4，代入点P3得，b23，代入点P1得，a24.椭圆C的方程为：1.(2)由，可得x28kmx4m2120.直线与椭圆有且仅有一个公共点，可知64k2m240，整理得m24k23.由条件可得k0，M，N(0，m)，SMON|OM|ON|m|，m24k23，且|k|0，SMON2.SMON的最小值为2，此时m24k236.又m0，解得m.故此时直线l的方程为yx或yx.