1、5.5三角恒等变换55.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式目标 1.会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式；2.掌握两角差的余弦公式及其应用重点 两角差的余弦公式的掌握及灵活应用难点 两角差的余弦公式的推导知识点一 利用两点间距离公式推导公式 填一填设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cos，sin)，A1(cos，sin)，P(cos()，sin()连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转角，则点A，P分别与点A1，P1重合根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以APA1P1.根据两点间的
2、距离公式，得cos()12sin2()(coscos)2(sinsin)2，化简得cos()coscossinsin.当2k(kZ)时，容易证明上式仍然成立知识点二 两角差的余弦公式 填一填1公式：cos()coscossinsin.2简记符号：C()3使用条件：，都是任意角答一答1两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？提示：公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余余正正2两角差的余弦公式能不能按照分配律展开呢？提示：两角差的余弦公式cos()coscossinsin，不能按照分配律cos()coscos展开3求值：cos75cos15sin255sin15.解析：cos75
3、cos15sin255sin15cos75cos15sin75sin15cos(7515)cos60.类型一 两角差余弦公式的正用与逆用 例1化简求值：(1)cos75；(2)cos63sin57sin117sin33；(3)cos()cossin()sin.解(1)原式cos(12045)cos120cos45sin120sin45.(2)原式cos63cos33sin63sin33cos(6333)cos30.(3)原式cos()cos.(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值(2)如果函数名不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称构造公式的结构形式然后逆用
4、公式求值变式训练1计算：(1)cos(15)；(2)cos15cos45cos75sin45.解：(1)原式cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30.(2)原式cos15cos45sin15sin45cos(1545)cos(30)cos30.类型二 条件求值 例2已知sin，且，求cos的值分析先根据sin求出cos的值，再根据构造两角差的余弦，求出cos的值解sin，且，0，sin()，cos，所以coscos()cos()cossin()sin.类型三 条件求角 例3(1)已知，均为锐角，且cos，cos，则_.(2)已知cos，cos()，且0，求的值解析(
5、1)因为，均为锐角，所以sin，sin，所以cos()coscossinsin.又sinsin，所以0，所以0.故.(2)解：由cos，0，得sin，由0，得0.又因为cos()，所以sin()，由()得coscos()coscos()sinsin().所以.答案(1)(2)见解析变式训练3已知sinsin，coscos，0，求的值解：因为(sinsin)22，(coscos)22，以上两式展开两边分别相加得22cos()1，所以cos()，因为0，所以0，所以.1下列各式化简错误的是(D)Acos80cos20sin80sin20cos60Bcos75cos45cos(30)sin45sin
6、(30)Csin(45)sincos(45)coscos45Dcoscossin解析：根据两角差的余弦公式可知A，B，C均正确，而coscossin，故D选项错误2cos555的值为(B)A BC D解析：cos555cos(720165)cos165cos(18015)cos15cos(4530).3cos80cos20sin100sin380.解析：原式cos80cos20sin80sin20cos(8020)cos60.4已知cos，则cos.解析：由cos，得sin.coscoscossinsin.5已知，sin()，sin，求cos的值解：因为，所以，所以cos().又，所以cos.coscoscos()cossin()sin.本课须掌握的两大问题1给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找区间)；确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定