1、第六讲解三角形A组基础巩固一、选择题1在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC(C)ABCD解析因为在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cos BAC，因为BAC为ABC的内角，所以BAC.故选C.2在ABC中，c，A75，B45，则ABC的外接圆的面积为(B)ABC2D4解析在ABC中，c，A75，B45，故C180AB60.设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R，解得R1，故ABC的外接圆的面积SR2.故选B.3(2022安徽合肥模拟)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为(B)ABC2D2解析因为SABACsin A2AC，所以AC
2、1，所以BC2AB2AC22ABACcos A221222cos 603.所以BC.4在ABC中，若，则ABC的形状是(D)A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析由已知，所以或0，即C90或.当C90时，ABC为直角三角形当时，由正弦定理，得，所以，即sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B.因为B，C均为ABC的内角，所以2C2B或2C2B180，所以BC或BC90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.5一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航
3、行的速度为(B)A8BCD17解析如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，MN6834海里又由M到N所用的时间为14104(h)，此船的航行速度v海里/时6(2021河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2，解得b，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件(B)AA30，B45BC75，A45CB60，c3Dc1，cos C解析由C75，A45可知B60，又，b，符合题意，故选B.二、多选题7在ABC中，a4，b8，A30，则此三角形的边
4、角情况可能是(ACD)AB90BC120Cc4DC60解析，sin B1，B90，C60，根据得C4.故选A、C、D.8(2021山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是(ACD)A在ABC中，a：b：csin A：sin B：sin CB在ABC中，若sin 2Asin 2B，则ABC在ABC中，若sin Asin B，则AB；若AB，则sin Asin BD在ABC中，解析对于A，在ABC中，由正弦定理可得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以a：b：csin A：sin B：sin C，故A正确；对于B，若sin 2Asin 2B，则2A2B或2A2B，可得AB
5、或AB，故B错误；对于C，若sin Asin B，根据正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B，得ab，再根据大边对大角若AB，则ab，由正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B，得sin Asin B，故C正确；对于D，由，再根据比例式的性质可知D正确故选A、C、D.三、填空题9(2022佛山模拟)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为千米解析ACB180756045，由正弦定理得，AC千米10(2021福州市适应性考试)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos Bbcos A2ac，则a.解析由题设及正弦定理得sin
6、Acos Bsin Bcos A2asin C，所以sin(AB)2asin C又ABC，所以sin C2asin C，又sin C0，所以a.11已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin Asin B，则C.解析在ABC中，sin Asin B，ab.a2b2c2ab，cos C.C.12我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S，若a2sin C5sin A，(ac)216b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为 2 .解析a2sin C5sin
7、A，a2c5a，即ac5，因为(ac)216b2，所以a2c2b2162ac6，从而ABC的面积为2，故答案为2.四、解答题13(2021新高考八省联考)在四边形ABCD中，ABCD，ADBDCD1.(1)若AB，求BC；(2)若AB2BC，求cosBDC.解析(1)在ABD中，cosABD.ABCD，BDCABD.在BCD中，BC2BD2DC22BDDCcosBDC1212211，BC.(2)设BCx，则AB2x，cosABDx.在BCD中，BC2BD2DC22BDCDcosBDC，x2112x，x22x20，解得x1.cosBDCcosABDx1.14(2021新高考，19)记ABC的内角
8、A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2ac，点D在边AC上，BDsinABCasin C.(1)证明：BDb；(2)若AD2DC，求cosABC.解题指导(1)利用正弦定理将题干中的边角关系转化为边之间的关系是解题突破口(2)在不同的三角形中利用余弦定理探究边长间的关系是解决本题第二问的关键解析(1)证明：在ABC中，由BDsinABCasin C及正弦定理可得BDbac，又b2ac，所以BDbb2，故BDb.(2)由AD2DC得ADb，DC，在ABD中，cos A，在ABC中，cos A.故，化简得3c211b26a20，又b2ac，所以3c211ac6a20，即(c3a)(3c2a)0
9、，所以c3a或ca.当c3a时，b2ac3a2，所以ba，此时ab0，所以sin B，所以tan B4，故选C.解法二：作BDAC于D，由cos C，BC3，知CD2，即D为边AC的中点，所以三角形ABC是等腰三角形，且BD，于是tan ，故tan B4，故选C.3(2021湖南四校摸底调研)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1，则C(B)ABCD解析由正弦定理及1，得1，整理可得a2b2c2ab，由余弦定理得cos C，又C(0，)，所以C.故选B.4如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西3
10、0、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为.解析由ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sin ACBsin BAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cos ACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cos ACBcos 30sin ACBsin 30.5(2020新高考)在ac，csin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解析方案一：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由ac，解得a，bc1.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c1.方案二：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc，BC，A.由csin A3，所以cb2，a6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c2.方案三：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由cb，与bc矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在