1、福建省龙岩市2020届高三数学5月教学质量检查试题 文（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求出结果.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题2.设，则在复平面内对应的点位于（ ）A.
2、第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的除法运算，即可求出，可得，由此可得在复平面内对应的点为，由此即可求出结果.【详解】因为，所以，所以在复平面内对应的点为，故在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算、共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题.3.已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的辅角公式可得，进而，再根据，分析可得，由此即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅角公式，三角函数值的应用，属于基础题
3、.4.设x，y满足约束条件则的最小值为（ ）A. 5B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由x，y满足约束条件，作出可行域如图， 化目标函数为 ， 联立方程，解得， 由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，最小 故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题5.某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（指标值满分为5分，分值高者为优），分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述
4、错误的是（ ）A. 甲的六大能力中推理能力最差B. 甲的创造力优于观察能力C. 乙的计算能力优于甲的计算能力D. 乙的六大能力整体水平低于甲【答案】B【解析】【分析】根据雷达图中所给的信息，逐项分析即可【详解】由六维能力雷达图，得： 对于A，甲的推理能力为比其他都低，故A正确； 对于B，甲的创造能力是，观察能力也是，故甲的创造力与于观察能力一样，故B误； 对于C，乙的计算能力是，甲的计算能力是，故乙的计算能力优于甲的计算能力，故C正确； 对于D，乙的六大能力总和为，甲的六大能力总和为，故D正确 故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查读图识图能力、分析判断能力，是基础题6.在正方体中，E为
5、的中点，F为BD的中点，下列结论正确的是（ ）A. B. C. 平面D. EF平面【答案】D【解析】【分析】由，与相交，判定A错误；求出异面直线所成角判断B错误；由与平面相交，判断C错误；证明直线与平面垂直判断D正确【详解】如图，连接， 因为为的中点，则为的中点，又为的中点，所以为的中位线，得， 因为与相交，所以与不平行，故A错误； 连接，可得为等边三角形，即， 又，所以为与所成角，故B错误； 因为与平面相交，而，所以与平面相交，故C错误； 在正方体中，而， 又，所以平面，而，所以平面，故D正确 故选：D【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维
6、能力，是中档题7.已知函数的图象如下，那么的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】首先化简可得，由图像可知；又因为，所以，当时，可得，化简可得，由此求出或，进而求出结果.【详解】因为，由图像可知，所以；又因为，所以，当时，由图像可知，,所以，所以可得或 所以，又，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数图像的应用，同时考查了三角函数中的含参问题，属于中档题.8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个
7、相关的问题：将1到2020这2020个自然数中满足被3除余2且被5除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是（ ）A. 135B. 134C. 59D. 58【答案】A【解析】【分析】根据“被3除余2且被5除余3的数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为， 则， 令 ，解得 将1到2020这2020个自然数中满足被3除余2且被5除余3的数按照从小到大的顺序排成一列， 构成一个数列，则该数列的项数是135 故选：A【点睛】本题考查数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基
8、础知识，考查运算求解能力，是中档题9.设，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据中间量，可得；再构造辅助函数，利用函数单调性证明当时，所以，可知，即可求得结果.【详解】因为；所以； ；所以，即；设，则 由于，所以；又，所以，所以；所以在上单调递减，所以；所以当时，所以，所以；所以；综上.故选:B.【点睛】本题主要考查了对数、指数幂的大小比较，本题的关键是构造辅助函数，利用函数单调性证明当时，本题属于难题.10.已知双曲线左、右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点.若为等边三角形，则C的渐近线方程为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【
9、解析】【分析】利用双曲线的对称性，结合已知条件判断的位置，然后利用通径与焦距列出方程，求解即可【详解】双曲线左、右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点若为等边三角形，可知垂直轴，所以，可得 ， 即 ，解得， 所以双曲线的渐近线方程为： 故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题11.在正四面体PABC中，点D，E分别在线段PC，PB上，若的最小值为，则该正四面体外接球的表面积为（ ）A. 27B. 54C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据侧面展开图，可得当三点共线时最小，即，设正四面体的棱长为，则在中，利用余弦定理可知，棱长为；正四面体外接球
10、，即为棱长为的正方体的外接球，即外接球的直径为，再根据球的表面积公式即可求出结果.详解】如图，将正四面体展开，可知当三点共线时最小，即，设正四面体的棱长为，则在中，即，所以，即；又正四面体外接球，即为棱长为的正方体的外接球，即外接球的直径为，所以正四面体外接球的表面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了正四面体的性质，以及正四面体外接球的表面积，属于中档题.12.已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据图象关于对称，求出的解析式，然后设切点，求导数，进而写出切线方程，再根据切线过原点，求出切点坐标，即可求出的值【详解】由已知
11、设是上任意一点，则关于的对称点为在的图象上， 所以， 所以， 设切点为 ，则，故切线为，由已知切线过，所以， 所以，所以 故 故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义及切线方程的求法，注意利用切点满足的条件列方程解决问题属于中档题第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知向量，若，则_.【答案】；【解析】【分析】若，所以，根据平面向量平行的坐标运算公式，即可求出结果.【详解】若，所以，所以.【点睛】本题主要考查了平面向量平行的坐标运算，属于基础题.14.为增强学生的劳动意识，某校组织两个班级的学生参加社区劳动，这两个班级拟从高一年段的两个班级和高二年段的四个班级中选出，则
12、选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率为_.【答案】；【解析】【分析】基本事件总数，选出的班级中至少有一个班级来自高一年段包含的基本事件个数，由此能求出选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率【详解】某校组织两个班级的学生参加社区劳动，这两个班级拟从高一年段的两个班级和高二年段的四个班级中选出， 基本事件总数 选出的班级中至少有一个班级来自高一年段包含的基本事件个数， 则选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率为 故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则_，的最大值为_.【答
13、案】 (1). 5 (2). ；【解析】【分析】利用正弦定理可得：，根据余弦定理进而可求得：，根据余弦定理，基本不等式可求，当且仅当时等号成立，进而可求的最大值【详解】， 利用正弦定理可得：， 又， 可得 ， 整理可得：；，当且仅当时等号成立， 的最大值为，当且仅当时等号成立.故答案为：； 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16.已知椭圆的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】设椭圆的右焦点为，则四边形是平行四边形，于是把原问题转化为求时，离心率的取值范围；然后结合椭圆的定
14、义、余弦定理和基本不等式列出关于离心率的不等式，解之即可得解【详解】如图，设椭圆的右焦点为，连接，AB，互相平分，四边形为平行四边形，由条件知，当B在短轴端点时，最大，此时在中，即.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率等几何性质，还用到了余弦定理、基本不等式等基础知识点，考查学生灵活运用知识的能力、转化与化归能力和运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.记数列的前n项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，
15、求证：.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）当时根据公式，代入进行计算并加以转化可得，方法一：利用累乘法，可得，即可求出结果；方法二：由，可得，所以数列 是一个常数列，进而可计算出数列的通项公式； （2）根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后将通项公式进行转化可发现数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式写出的表达式，同时可得与的表达式，然后运用作差法代入计算可证明不等式成立【详解】解：(1)(法一)，即，.，即，又也满足上式，.(法二)，即，即，是以为首项的常数列，.(2)由(1)知，.，即.【点睛】本题主要考查数列求通项公式，等比数列的判别和
16、求和公式及不等式的综合问题考查了转化与化归思想，作差法，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题18.在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的共同努力，新冠肺炎疫情得到了有效控制.作为集中医学观察隔离点的某酒店在疫情期间，为客人提供两种速食品“方便面”和“自热米饭”.为调查这两种速食品的受欢迎程度，酒店部门经理记录了连续10天这两种速食品的销售量，得到如下频数分布表（其中销售量单位：盒）：第天12345678910方便面1039398931068687949199自热米饭8896989710199102107104112（1）根据两组数据完成下面的茎叶图（填到答
17、题卡上）；（2）根据统计学知识，你认为哪种速食品更受欢迎，并简要说明理由；（3）求自热米饭销售量y关于天数t的线性回归方程，并预估第12天自热米饭的销售量（结果精确到整数）.参考数据：，.附：回归直线方程，其中，.【答案】（1）作图见解析（2）自热米饭更受欢迎，详见解析（3）；预估第12天自热米饭的销售量为113个【解析】【分析】（1）利用已知条件，直接求解茎叶图 （2）解法一：由（1）中的茎叶图可知，自热米饭的销售量较方便面更高，两种速食品的销售量波动情况相当，所以认为自热米饭更受欢迎 解法二：方便面的销售量平均值，自热米饭的销售量平均值，推出结果 （3）求出样本中心，回归直线方程斜率，然后
18、求解截距，得到回归直线方程，然后求解预估第12天自热米饭的销售量个数【详解】解：(1)茎叶图如下：(2)解法一：由(1)中的茎叶图可知，自热米饭的销售量较方便面更高，两种速食品的销售量波动情况相当，所以认为自热米饭更受欢迎.解法二：方便面销售量平均值为，自热米饭的销售量平均值为，所以自热米饭的销售量平均值比方便面销售量平均值更高，因此认为自热米饭更受欢迎.(3)计算，又，.因此自热米饭销售量y关于天数t的线性回归方程为.当时，(个)，所以预估第12天自热米饭的销售量为113个.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，茎叶图的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题19.在如图所示的几何体ABCD
19、E中，平面ABC，F是线段AD的中点，.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出CFAD，AECF，从而CF平面ADE，进而CFDE，由DEBC，得CFCB，由DC平面ABC，DCBC，从而BC平面ACD，由此能证明ACBC （2）由CACD，CACB，DEBC，得B，C，D，E四点共面，从而CA平面BDE，由此能求出三棱锥F-ABE的体积【详解】证明：(1)，F是线段AD的中点，.又，平面ADE，又，平面ABC，又，平面ACD，平面ACD，.(2)，又，B，C，D，E四点共面，平面BDE，F为线段AD的中点.【点睛】本题考查线线垂直的
20、证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.已知点，抛物线上存在一点M，使得直线AM的斜率的最大值为1，圆Q的方程为.（1）求点M的坐标和C的方程；（2）若直线l交C于D，E两点且直线MD，ME都与圆Q相切，证明直线l与圆Q相离.【答案】（1），C的方程为（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）（法一）设，代入抛物线方程，求出直线AM的斜率表达式，利用基本不等式求出取得最大值1解得，求出抛物线方程 (法二)：设，则点在x轴上方，直线AM的方程为y=x+1，联立直线AM和抛物线C的方程并整理得，利用判别式解得p，然后求解抛物线方
21、程 （2）（法一）求出圆Q的圆心为，半径为，设过点M的直线MA或MB的方程为利用点到直线的距离解得得到直线MD的方程，将直线MD方程与抛物线方程联立，设，求出D，E坐标，推出l的方程，判断直线l与圆Q相离 （法二）求出圆心Q，半径为设l的方程为代入抛物线方程，转化求解直线的斜率，直线的方程式，通过与圆Q相切，转化求解D、E坐标，得到直线l得方程判断圆心Q到直线l的距离，得到结果【详解】解：(1)(法一)设，则，由已知可得，直线AM的斜率为当且仅当时，取得最大值1.，解得，C的方程为.法二：设，则点M在x轴上方由已知，当直线AM的斜率为1时，直线AM与抛物线C相切此时直线AM的方程为，联立直线A
22、M和抛物线C的方程并整理得，解得：，且，C的方程为.(2)(法一)圆Q的方程可化为圆Q的圆心为，半径为，设过点M的直线MA或MB的方程为化为，则，解得.不妨设直线MD的方程为，将直线MD与抛物线方程联立消去x得.设，则，同理设，.，直线l的斜率直线l的方程为，即l的方程，此时圆心Q到直线l的距离直线l与圆Q相离(法二)圆Q的方程可化为.圆心，半径为.由题知，直线l的斜率必存在，设l方程为.联立，消去x得由，得，设则，直线MD的斜率为直线MD的方程式为，即MD与圆Q相切，由题知：，或，代入得，满足式，直线l得方程为，即.此时圆心Q到直线l的距离.直线l与圆Q相离.【点睛】本题考查直线与抛物线的位
23、置关系的综合应用，直线与圆的位置关系的判断，考查转化思想以及计算能力，是难度比较大的题目21.已知函数.（1）若，求取值范围；（2）若存在唯一的极小值点，求的取值范围，并证明.【答案】（1）（2）；证明见解析；【解析】【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为恒成立，然后研究的单调性，求出最大值； （2）通过研究在内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确定的零点范围及单调性，可以通过研究的零点、符号来确定的单调性，和特殊点（主要是能确定符号的点）处的函数值符号，从而确定的极值点的存在性和唯一性【详解】(1)的定义域为.由，得在恒成立，转化为令，则，在单调递增，在单调递减，的最大
24、值为，.的取值范围是.(2)设，则，.当时，恒成立，在单调递增，又，所以存在唯一零点.当时，当时，.所以存在唯一的极小值点.当时，在单调递增，所以在有唯一零点.当时，当时，.所以存在唯一的极小值点.当时，令，得；令，得，在单调递增，在单调递减，所以的最大值为当时，(或用)由函数零点存在定理知：在区间，分别有一个零点，当时，；当时，；所以存在唯一的极小值点，极大值点.当时，所以在单调递减，无极值点.由可知，a的取值范围为，当时，；所以在单调递减，单调递增.所以.由，得.所以，因为，所以，所以，即；所以.【点睛】本题通过导数研究函数的零点、极值点的情况，一般是先研究导函数的零点、单调性，从而确定原
25、函数的极值点存在性和个数同时考查学生运用函数思想、转化思想解决问题的能力和逻辑推理、数学运算等数学素养（二）选考题：共10分.请考生在第22.23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy中，直线l过点且倾斜角为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，l与C交于M，N两点.（1）求C的直角坐标方程和的取值范围；（2）求MN中点H的轨迹的参数方程.【答案】（1）；或（2）（为参数，且或）.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利
26、用直线的垂直的充要条件的应用求出结果【详解】解：(1)C的直角坐标方程为，即，是以原点为圆心的单位圆当时，显然直线l与曲线C相离，不合题意.，所以直线l的斜率存在.直线l的方程可写为直线l与曲线C交于M，N两点，圆心O到直线l的距离，解得或.(2)(法一)直线l的参数方程为(t为参数，或)设M，N，H对应的参数分别为，则，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，又点H的坐标满足，(t为参数，或)点H的轨迹的参数方程为即(为参数，或)(法二)设点，则由可知，当时有即，整理得当时，点H与原点重合，也满足上式.点H的轨迹的参数方程为(为参数，且或).【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标
27、方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数，且的最大值为3.（1）求m的值；（2）若正数a，b，c满足，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）化简函数的解析式为分段函数的形式，求出函数的最值，即可求解的值 （2）利用“1”的代换，结合基本不等式转化证明不等式即可【详解】(1)解：当时，取得最大值，的最大值为3，解得.(2)证明：由(1)得，即又a，b，c为正数，且(当且仅当时等号成立).【点睛】本题考查函数的导数的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题