1、河南省“领军考试”2020-2021学年高二数学下学期5月期中试题 理注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置2全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效3回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案用黑色笔迹签字笔写在答题卡上4考试结束后，将本试题和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则为（ ）A-2B-1C0D32如图的六个区域进行染色，每个区域
2、只染一种颜色，且相邻的区域不同色若有3种不同颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案A48B64C96D1083已知，则，的大小顺序是（ ）ABCD4函数的图像大致为（ ）ABCD5已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）ABCD7某种病毒的使人患病率为0.03，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为0.87，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ）AB0.9C2.61%D0.251%8已知的展开式中
3、第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为（ ）ABCD9若的展开式中的二项式系数之和为64，则该展开式中的系数是（ ）A15B-15C20D-2010当时，已知，若存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（ ）ABCD11一组数据原有三个数据，其均值为10，现分别加入6和14，得到两组新的数据，它们的方差分别是，和，则（ ）ABCD与的大小关系不能确定12已知直线与函数的图象有两个交点的充分不必要条件是可以取（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知实数，满足：，且，当时，则_14圆心角为的扇形面积为，则它围成的圆锥的体积为_15已知函数的图象在点处的切线经
4、过坐标原点，则_16已知，则_三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必答题，每个试题考生必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17（12分）已知函数在处的切线垂直于轴（1）求实数的值；（2）若时恒成立，求整数的最小值18（12分）习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前“日行万步”正成为健康生活的代名词某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”
5、，其他为“一般生活方式者”某日，学校工会随机抽取了该校40名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：（1）求40名教职工日行步数（千步）的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替，结果四舍五入保留整数）；（2）由频率分布直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）近似服从正态分布其中为样本平均数，标准差的近似值为2.5，根据（1）的计算结果（取整数），求该校被抽取的40名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）；（3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会从该校全体教职工中随机抽取3人作为“日行万步”活动的奖励对象，求3人中日行步数（千步）在内的人
6、数的分布列和数学期望附：若随机变量服从正态分布，则，19（12分）已知己知二项式的展开式中，前三项系数成等差数列（1）求正整数的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项20（12分）为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人（1）完成下面列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过与性别有关”?平均车速超过平均车速不超过总计男性驾驶员女性驾驶员总计附：，其中
7、0.1500.1000.0500.0100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；（3）以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过且为男性驾驶员的车辆数为，求的分布列和数学期望21（12分）已知函数在点处的切线为（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若恒成立，求的最大值（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修4-4：坐标系与参数方程（1
8、0分）在平面直角坐标系中，已知曲线的极坐标方程为：；直线参数方程为：（为参数）（1）求曲线，的普通方程；（2）若和交于和两点，若，求的面积23选修4-5：不等式选讲（10分）若关于的不等式的解集为（1）求实数，的值；（2）若实数，满足，求证：20202021学年度下期期中考高二数学（理）参考答案与解析1【答案】B【命题意图】考查复数【解析】因为此点位于第二象限，则有故选B2【答案】C【命题意图】考查计数原理【解析】先染中间有3种方法，再染5个三角形有，则总方法数为：963【答案】D【命题意图】考查推理与函数【解析】因为，而，则有D正确+0-极大值4【答案】B【命题意图】考查推理与图象的关系【解
9、析】，为奇函数，排除A；时，排除D又因时，排除C故选B5【答案】A【命题意图】考查逻辑学和复数【解析】因为，且点在第四象限，则，解得因此，“”是“点在第四象限”的充分而不必要条件故选：A6【答案】B【命题意图】考查推理与概率【解析】从1，2，3，4中任取2个不同的数有以下六种情况：，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有，故所求概率是7【答案】C【命题意图】考查条件概率【解析】设事件“血检呈阳性”，“患该种疾病”依题意知，由条件概率公式，得，故选C8【答案】C【命题意图】考查二项式系数【解析】因为的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中所有项式系数和为，当时所有项系和为
10、9【答案】A【命题意图】考查二项式通项式【解析】由题意得，因此，从而，因此展开式中的系数是选A10【答案】D【命题意图】考查逻辑推理与函数【解析】由题意知，函数在，下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，当时，；当时，所以，函数的最小值为又，直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D11【答案】C【命题意图】考查对方差的理解与计算【解析】不妨设原来的三个数分别为，则，新的两组数据的平均数分别为9和11，则，则，故选C12【答案】D【命题意图】考查逻辑与导数【解析】因为函数的图象与直线有两个交点，所以函数有两个零点，则当时，恒成立，所以函数在上单调递减，不可能有两个零点；当时，令，可得；当时，；当时
11、，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为此时，时，；时，若函数有两个根，则，则的取值范围是两个交点的充分不必要条件是可以取13【答案】或1【命题意图】考查二项式系数【解析】令，得；令，得，又，当时，得或114【答案】【命题意图】考查体积计算【解析】设扇形的半径为，则由于是扇形的弧长为，其即为圆锥的底面周长，于是圆锥的底面半径为，所以底面面积为，所以圆锥的体积为：15【答案】0【命题意图】考查导数和切线【解析】，切线斜率，则切线方程为已知切线经过坐标原点，则16【答案】【命题意图】考定积分计算【解析】设，则，所以，则又因17【答案】（1），（2）1【命题意图】考查导数的几何意义和应用
12、【解析】（1）由得，则（2）由（1）知 ，则，令得，令得，即在上单调递减，在上单调递增，又，故整数得最小值为118【答案】（1）7；（2）5；（3）0.3【命题意图】考查正态分布和离散随机分布【解析】（1）（千步）；（2），该校被抽取的40名教职工中日行步数（千步）的人数约为（人）（3）由频率分布直方图知，日行步数（千步）在内的概率为的取值分别为：0，1，2，3，的分布列为：01230.7290.2430.0270.001数学期望为19【答案】（1）8；（2）；（3）和【命题意图】考查二项式展开系数【解析】（1）二项式展开式的通项为，由于展开式系数的绝对值成等差数列，则，即，整理得，解得；（2
13、）第项的二项式系数为，因此，第5项的二项式系数最大，此时，；（3）由，得，整理得，解得，所以当或3时，项的系数最大因此，展开式中系数最大的项为和20【答案】（1）略（2）（3）【命题意图】考独立检验和离散随机分布【解析】（1）完成的列联表如下：平均车速超过平均车速不超过总计男性驾驶员401555女性驾驶员202545总计6040100，所以由99.5%的把握认为“平均车速超过与性别有关”（2）平均车速不超过的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件，则事件所包含的基本事件数为，所以所求的概率（3）根据样本估计总体的思想，从总体中任取1
14、辆车，平均车速超过且为男性驾驶员的概率为，故所以；所以的分布列为0123（或）21【答案】略【命题意图】考查导数在函数研究中应用【解析】：（1）因为，所以；，则有，则因为，所以，令在恒成立，（2）设，则恒成立易得a当时，因为，所以此时在上单调递增若，则当时满足条件，此时；若，取且，此时，所以不恒成立不满足条件；b当时，令，得由，得；由，得所以在上单调递减，在上单调递增要使得“恒成立”，必须有“当时，”成立所以则将可转化为与单变量有关的函数即令，则令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，从而，当，时，的最大值为22【答案】（1）；（2）2【命题意图】考查极坐标和参数方程【解析】（1）曲线：，即，因为，所以的方程为，即消去得曲线的普通方程为（2）因为，而点在上，所以是直径，则知到的距离，则23【答案】略【命题意图】考查绝对值不等式【解析】：（1）由，得或，则解得（2）由（1）可知，又因为，所以