1、第六节 对数与对数函数热点命题分析学科核心素养本节是高考的一个热点，主要考查对数式的大小比较、对数函数的图象和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题和填空题为主，也可能在解答题中出现，难度中等.本节通过对数运算、对数函数的图象及性质考查分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的运用以及考生的数学运算核心素养.知识点一 对数与对数运算1对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数xloga NaN2对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaN；logaaN(a0，且a1)；零和负数没有对数(2)对数的运算法则(a0，
2、且a1，M0，N0)loga(MN)；loga；logaMn(nR)NNlogaMlogaNlogaMlogaNnlogaMB 2(log29)(log34)_.答案：4知识点二 对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)(2)对数函数的图象与性质定义域值域性质过点，即x时，y.当x1时，；当0 x1时，；当0 x0y0增函数y0减R01 温馨提醒 二级结论对数函数的图象与底数大小的比较如图所示，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大
3、必明易错对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于0，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分a1和0a1两种情况讨论A 2函数yloga(4x)1(a0，且a1)的图象恒过点_答案：(3,1)3(易错题)函数ylogax(a0，a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a_.解析：分两种情况讨论题型一 对数函数的图象及应用 自主探究1函数f(x)ln|x1|的图象大致是()BABC 3已知函数f(x)4loga(x1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是_答案：(2,4)4设平行于y轴的直线分别与函数y1log2x及函数y2lo
4、g2x2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2log2x2的图象上，如图，若ABC为正三角形，则m2n_.答案：121.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合进行求解.题型二 对数函数的性质及应用 多维探究对数函数的性质及应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有常见的命题角度有：(1)比较大小；(2)与对数函数的单调性有关问题；(3)与对数函数有关的不等式问题.考法(一)比较大小例1(1)(201
5、9高考全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()AabcBacb CcabDbc0)的单调性在a1时相同，在0a1时相反(2)研究yf(logax)型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令tlogax，则只需研究tlogax及yf(t)的单调性即可考法(三)解简单的对数不等式例3已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是_ 对数不等式(组)的求解常利用对数函数的单调性，在对数的底数不确定的情况下，要注意分类讨论题组突破1已知实数a2ln 2，b22ln 2，c(ln 2)2，则a，b，c的大小关系是()AcbaBcabCbacDacb答案：
6、B2(多选题)已知函数，则下列结论正确的是()Af(x)的定义域为(0，)Bf(x)的值域为1，)Cf(x)是奇函数Df(x)在(0,1)上单调递增AD B 涉及对数值比较大小或范围确定问题，要根据待比较的式子或范围，通过构造函数，利用函数性质比较大小，若不能构造函数，则需要利用作差(或作商)比较大小A在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力题组突破1(2020高考全国卷)若2alog2a4b2log4b，则()Aa2bBa2bCab2Dab
7、2解析：2alog2a4b2log4b22blog2b.令f(x)2xlog2x，则f(x)在(0，)上单调递增又22blog2b22blog2b122blog22b，2alog2a22blog22b，即f(a)f(2b)，a2b.B 2里氏震级M的计算公式为Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的_倍解析：根据题意，由lg 1 000lg 0.0016得此次地震的震级为6级，因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9lg 0.0019，解得A9106，同理5级地震的最大振幅A5102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍答案：610 000课时作业 巩固提升