1、福建省龙岩市2020届高三数学下学期3月教学质量检查试题 理（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可【详解】解：Mx|x2，Nx|2x3，MNx|2x2故选：C【点睛】本题考查了描述法的定义，交
2、集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出【详解】解：，2i在复平面内所对应的点（2，1）位于第四象限故选：D【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.已知则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解【详解】解：log33log38log39，1a2，21.1212，b2，00.83.10.801，0c1，cab，故
3、选：D【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用4.的展开式中常数项为（ ）A. -40B. 40C. -80D. 80【答案】A【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（2x）5的的展开式的通项公式：,令52r1，或52r0，解得r3，r（舍去）（x+1）（2x）5的展开式中常数项：（1）32240故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.赵爽弦图（图1）是取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.图2是由弦图变化
4、得到，它是由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机向图2中大正方形的内部投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为2和3，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图形可知小正方形的边长为321，大正方形的边长为：235，分别求解面积，由几何概型中的面积型即可求解【详解】解：由题意可知：小正方形的边长为321，面积为1，大正方形的边长为：2+35，面积25，设飞镖投中小正方形（阴影）区域为事件A，由几何概型中的面积型可得P（A）故选：A【点睛】本题考查了正方形面积的求法及几何概型中的面积型，属基础题6.已知函数满足，则（
5、）A. B. 0C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由可知函数关于x对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求，然后代入即可求解【详解】解：由f（x）f（+x）可知函数关于x对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知， ,故.故选：B【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题7.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得为奇函数，且x0时，f（x）0，由排除法分析可得答案【详解】解：根据题意，函数，其定义域为x|x0，且，即函数f（x）为奇函数，排除A、C，由于，又，则，则函数f（x）在不是单调增函数，故排除D；故选：
6、B【点睛】本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域、奇偶性的分析，属于基础题8.已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若是直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意和直角三角形的射影定理可得之间的关系，进而求出离心率【详解】解：在直角三角形AFB中，AOBF，由射影定理可得OA2OFOB，即b2ac，所以 a2c2ac，整理可得e2+e10，解得e，因为e（0，1），所以e，故选：D【点睛】考查椭圆的性质及直角三角形的射影定理的应用，属于基础题9.关于函数有下述四个结论：函数的图象把圆的面积两等分是周期为的函数函数在区间上有3个零点函数
7、在区间上单调递减其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用诱导公式和二倍角公式将函数化简为f（x）sinxx，因为单位圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以可以先证明函数的奇偶性，进而即可判断，利用函数的周期性可判断，利用导数判断函数单调递减，从而可以判断【详解】解：f（x）2sinsin（+）x2sincosxsinxx，对于，因为f（x）sin（x）（x）sinx+xf（x），所以函数f（x）为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆x2+y21也是关于原点对称，所以正确；对于，因为f（x+）sin（x+）（x+）sinxxf（x），所以f（x）的
8、周期不是，即错误；对于，因为cosx10，所以f（x）单调递减，所以f（x）在区间（，+）上至多有1个零点，即错误；对于，cosx10，所以f（x）单调递减，即正确故选：C【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，以及利用导数判断函数的单调性，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于基础题10.已知O是坐标原点，F是双曲线的左焦点，过F作斜率为的直线l与双曲线渐近线相交于点A，A在第一象限且，则k等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意设直线l的方程与渐近线yx联立求出A的坐标，再由|OA|OF|即3a4b可得k的值【详解】解：由题意可得直线l的方程为：y
9、k（x+c）与渐近线yx联立可得xk，因为OAOF，所以x2+y2c2，即（）2+（）2c2，由3a4b，即ba，所以整理可得（ k）2，k0，解得k，故选：B【点睛】考查双曲线的性质，及直线的交点坐标的求法，属于基础题11.已知在中，其外接圆的圆心为O，则（ ）A. 20B. C. 10D. 【答案】C【解析】【分析】作ODAB于D，OEAC于E，根据向量数量积的几何意义即可得到答案【详解】解：如图，过O作ODAB于D，OEAC于E，可得D，E为AB，AC的中点，则（3616）10故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义，属于中档题12.已
10、知正三棱柱的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱分别交于，若为直角三角形，则面积的最小值为（ ）A. B. 3C. D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设，不妨设N为直角，可得，写出三角形面积，再由基本不等式求最值【详解】以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设，不妨设N直角，所以，即故选：B.【点睛】本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题
11、5分，共20分.13.曲线在处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】根据条件求出x1时y、y的值即可表示出切线方程【详解】解：根据题意可得y2xlnx+x，则当x1时，y0，y1，所以曲线在x1处的切线方程为y（x1），整理得x+y10，故答案为：x+y10故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题14.的内角的对边分别为.若的面积为，则_.【答案】（或）【解析】【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解【详解】解：由余弦定理可得a2b2c22bccosA，ABC的面积为，又因为SABC，所以tanA，由A（0，）可得A故答案为：.【点睛】本题主
12、要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题15.记为数列的前n项和，若，则_.【答案】3【解析】分析】本题先根据2Sn+1an+1（n2），进一步计算可发现数列an是以1为首项，3为公比的等比数列,然后根据等比数列的通项公式和求和公式可计算出表达式的结果【详解】解：依题意，当n2时，由2Sn+1an+1，可得2Sn1+1an，两式相减，可得2anan+1an，即an+13an（n2）a22S1+12a1+13，数列an是以1为首项，3为公比的等比数列an3n1，nN*3故答案为：3【点睛】本题主要考查等比数列的判别以及等比数列的性质应用考查了公式法的应用，数学运算能力，本题属基
13、础题16.波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，则当的面积最大时，AC边上的高为_.【答案】【解析】【分析】，,即根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为圆, 以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系,求出B的轨迹方程，进而得出结论【详解】解：为非零常数，根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹是圆.以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系则，设，整理得因此，当面积最
14、大时，BC边上的高为圆的半径.【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的公差，若，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知列式求得等差数列的首项与公差，则通项公式可求；（2）把数列的通项公式代入，再由裂项相消法求数列的前n项和.【详解】解：（1），成等比数列，化简得，由可得，,所以数列的通项公式是;（2）由（1）得【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的
15、性质，训练了裂项相消法求数列的前项和，是中档题18.如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，顶点在底面ABCD内的射影恰为点C.（1）求证：BC平面ACD1；（2）若直线DD1与底面ABCD所成的角为，求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，则平面ABCD，推导出，连接AC，过点C作CGAB于点G，推导出BCAC，由此能证明BC平面ACD1;（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值【详解】解：（1）证明：如图，连接，则平面A
16、BCD，在等腰梯形ABCD中，连接AC，过点C作于点G，则因此满足又，面，平面（2）由（1）知两两垂直，平面以C为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，由，得，可得平面的一个法向量，又为平面ABCD的一个法向量，设平面与平面ABCD所成锐二面角为，则，因此平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针
17、对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在内的猪分为三个成长阶段如下表.猪生长的三个阶段阶段幼年期成长期成年期重量（Kg）根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，.（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可
18、盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.（）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；（）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.（参考数据：若，）【答案】（1）甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头（2）（）详见解析（）（元）【解析】【分析】（1）由于猪的体重X近似服从正态分布XN（70，232），根据参考数据求出对应的概率，再求出结果；（2）根据题意，写出Y的分别列，求出数学期望，再求出总利润【详解】解：（1）由于猪
19、的体重X近似服从正态分布，设各阶段猪的数量分别为（头）；同理，（头）所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头；（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为随机变量Y可能取值为.，所以Y的分布列为：1100400P所以（元）由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，则总利润期望为（元）.【点睛】考查正态分布及其应用，考查离散型随机变量求分布列和数学期望，中档题20.已知抛物线上一点，F为焦点，面积为1.（1）求抛物线C的方程；（2）过点P引圆的两条切线PA、PB，切线PA、PB与抛物线C的另一个交点分别为A、B
20、，求直线AB斜率的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知：，求出p的值，从而得到抛物线C的方程；（2）设直线PA斜率为，则PA方程为，利用直线PA与圆相切，可得，设直线PB斜率为，同理得，所以是方程的两个根，从而得到，联立直线PA与抛物线方程，由韦达定理得，同理，代入直线AB的斜率公式得，再根据r的范围即可求出直线AB斜率的取值范围【详解】解：（1）由已知得，即，解得，所以C方程为；（2）由（1）得，设直线斜率为，则方程为，即，直线与圆相切，设直线斜率为，同理得，是方程的两个根，设，由得，由韦达定理得，同理，所以，,，直线AB斜率的取值范围是.【点睛】本题主要考查了抛物
21、线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题21.已知函数.（1）讨论函数的极值点个数；（2）若有两个极值点，试判断与的大小关系并证明.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2），详见解析【解析】【分析】（1）由已知令，得，记，则函数极值点个数转化为函数与y2a的交点个数，再利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，且，对a分情况讨论，即可得到函数的极值点个数情况；（2）由已知令，可得，记，利用导数得到的单调性，可得，当时，所以当即时有2个极值点，从而得到，所以，即【详解】解：（1），令，得，记，则，令，得；令，得，在上是增函数，在上是减函数，且，当即时，无解，无极值点，当即时，有一解，即，恒成
22、立，无极值点，当，即时，有两解，有2个极值点，当即时，有一解，有一个极值点.综上所述：当，无极值点；时，有2个极值点；当，有1个极值点；（2），,令，则，,记，则,由得，由，得，在上是增函数，在上是减函数,，当时，,当即时,有2个极值点,由,得,不妨设则，,又在上是减函数,.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数单调性，极值，最值，考查学生转化问题和分析问题的能力，是一道难题请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面
23、直角坐标系，直线过点，倾斜角为（1）求曲线的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的值【答案】（1），(为参数)；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程两边同乘，根据公式即可化简为直角坐标方程；根据已知信息，直接写出直线的参数方程，整理化简即可；（2）联立曲线的直角坐标方程和直线的参数方程，得到关于的一元二次方程，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得结果.【详解】（1）因为，所以，所以，即曲线的直角坐标方程为：，直线的参数方程(为参数)，即(为参数).（2）设点，对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，整理，得，所以，因为所以=， =
24、4，所以=.【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，以及直线参数方程的求解，涉及利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题，属综合基础题.23.已知函数（1）若，解不等式；（2）对任意的实数，若总存在实数，使得，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式，即可求得结果；（2）求得的值域以及的值域，根据二次函数的值域是值域的子集，求参数的范围即可.【详解】（1）当时，化为或或 解得或或，.即不等式的解集为. （2）根据题意，得的取值范围是值域的子集.又由于，的值域为 故，.即实数的取值范围为.【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式，以及由绝对值三角不等式求解绝对值函数的最小值，属综合性基础题.