1、课堂练通考点1.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，知左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，由题知直线l的斜率与直线OA的斜率相等，故可设直线l的方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t2120，解得4t4.另一方面，由直线OA
2、与l的距离d4，可得4，从而t2，由于2/4，4，所以符合题意的直线l不存在2如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x2)2y2r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|为定值解：(1)依题意，得a2，e，c，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)易知点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨设y10.由于点M在椭圆C上，y1.(*)由已知T(2,0)，则(
3、x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)2x4x132.由于2x12，故当x1时，取得最小值.把x1代入(*)式，得y1，故M，又点M在圆T上，代入圆的方程得r2.故圆T的方程为(x2)2y2.(3)设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：yy0(xx0)，令y0，得xR，同理：xS，故xRxS.(*)又点M与点P在椭圆上，故x4(1y)，x4(1y)，代入(*)式，得xRxS44.所以|OR|OS|xR|xS|xRxS|4为定值课下提升考能第卷：夯基保分卷1已知椭圆C过点M ，点F(，0)是椭圆的左焦点，点P，Q是椭圆C上的两个动点，且|PF
4、|，|MF|，|QF|成等差数列(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由已知，得解得椭圆的标准方程为1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由椭圆的标准方程为1，可知|PF| 2x1，同理|QF|2x2，|MF| 2，2|MF|PF|QF|，24(x1x2)，x1x22.()当x1x2时，由得xx2(yy)0，.设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ，得线段PQ的中垂线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一定点A.()当x1x2时，P，Q或P，Q，线段PQ的中垂线是x轴，也过点A.综上，
5、线段PQ的中垂线过定点A.2. (2013济南模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点(2，)(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kACkBD.求证：四边形ABCD的面积为定值解：(1)由题意e，1，又a2b2c2，解得a28，b24，故椭圆的标准方程为1.(2)证明：设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(12k2)x24kmx2m280，(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0, 由根与系数的关系得kACkBD，y1y2x1x2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x
6、1x2)m2k2kmm2，(m24)m28k2，4k22m2.设原点到直线AB的距离为d，则SAOB|AB|d |x2x1| 2，S四边形ABCD4SAOB8，即四边形ABCD的面积为定值3. (2013北京东城区期末)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(，0)，(，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(1,0)且与曲线C交于A，B两点(1)求曲线C的轨迹方程；(2)AOB的面积是否存在最大值，若存在，求出AOB的面积的最大值；若不存在，说明理由解：(1)由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(，0)，(，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆故曲线C的轨迹方程为y21.(2)AOB
7、的面积存在最大值因为直线l过点E(1,0)，所以可设直线l的方程为xmy1或y0(舍)由整理得(m24)y22my30，(2m)212(m24)0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1y2.解得y1，y2.则|y2y1|.因为SAOB|OE|y1y2|.设t，t ，g(t)t，则g(t)1，故当t时g(t)0恒成立，则g(t)在区间，)上为增函数，所以g(t)g().所以SAOB，当且仅当m0时取等号所以SAOB的最大值为.第卷：提能增分卷1.已知椭圆C：1，点F1，F2分别为其左、右焦点，点A为左顶点，直线l的方程为x4，过点F2的直线l与椭圆交于异于点A的P，Q两点(1)求的取
8、值范围；(2)若APlM，AQlN，求证：M，N两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值解：(1)当直线PQ的斜率不存在时，由F2(1,0)可知PQ的方程为x1，代入椭圆C：1，得点P，Q，又点A(2,0)，故，.当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为yk(x1)(k0)，代入椭圆C：1，得(34k2)x28k2x4k2120.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21)，故(x12)(x22)y1y2x1x22(x1x2)4y1y2，综上，的取值范围是.(2)证明：由(1)知，直线AP的方程为y(x2)，与直线l的方程x4
9、联立，得M，同理，得N，故M，N两点的纵坐标之积yMyN. 当直线PQ的斜率不存在时，yMyN9；当直线PQ的斜率存在时，由(1)可知，yMyN9.综上所述，M，N两点的纵坐标之积为定值，该定值为9.2. (2013合肥模拟)已知椭圆E：1(ab0)与双曲线1(0m23)有公共的焦点，过椭圆E的右顶点R任意作直线l，设直线l交抛物线y22x于M，N两点，且OMON.(1)求双曲线的焦点坐标和椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相
10、互垂直？并证明你的结论解：(1)由题意可知c双，故双曲线的焦点坐标为F1(，0)、F2(，0)设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线l：tyxa，代入y22x并整理得y22ty2a0，所以故x1x2y1y2(ty1a)(ty2a)y1y2(t21)y1y2at(y1y2)a2(t21)(2a)2at2a2a22a0，解得a2.又c椭c双，所以椭圆E的方程为y21.(2)法一判断结果：PAPB恒成立证明如下：设P(x0，y0)，则A(x0，y0)，D(x0，y0)，x4y4， 将直线AD的方程y(xx0)y0代入椭圆方程并整理得(4xy)x26x0yx9xy16x0，由题意可知此方程必有一根为x0.于是解得xBx0，所以yBy0，所以kPB，故kPAkPB1，即PAPB.法二判断结果：PAPB恒成立证明如下：设B(x1，y1)，P(x0，y0)，则A(x0，y0)，D，y1，y1，两式相减得，故kBAkBP .又kABkAD，代入上式可得kPB，所以kPAkPB1，即PAPB.