1、课堂练通考点1用数学归纳法证明：1n(nN*)证明：(1)当n1时，左边，右边11，等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，等式成立，即1k，则当nk1时，1k111.即当nk1时，等式也成立由(1)(2)知，等式对nN*成立2数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解：(1)当n1时，a1S12a1，a11.当n2时，a1a2S222a2，a2.当n3时，a1a2a3S323a3，a3.当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，左边a11，右边1，左边右
2、边，结论成立假设nk(k1且kN*)时，结论成立，即ak，那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak，ak1，这表明nk1时，结论成立，由知猜想an(nN*)成立课下提升考能1如果命题p(n)对nk(kN*)成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是()Ap(n)对所有正整数n都成立Bp(n)对所有正偶数n都成立Cp(n)对所有正奇数n都成立Dp(n)对所有自然数n都成立解析：选B由题意nk成立，则nk2也成立，又n2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立2凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()
3、Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：选C边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条3用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为_解析：当nk时左端为123k(k1)(k2)k2，则当nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的项为(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)24(2013皖南三校一模)设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)_，f(n)_.(n1，nN*)解析：易知2个圆周最多把平
4、面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f(n)n2n2.答案：4n2n25用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN*)能被9整除证明：(1)当n1时，(311)7127能被9整除，命题成立；(2)假设当nk(kN*，k1)时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除；则当nk1时，3(k1)17k11(3k1)7k1137k1(3k1)7k16
5、(3k1)7k37k1(3k1)7k19(2k3)7k.由于(3k1)7k1和9(2k3)7k都能被9整除，所以(3k1)7k19(2k3)7k能被9整除，即当nk1时，命题也成立，故(3n1)7n1(nN*)能被9整除6.已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)，且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由题意得a11，b11，b2，a21，P2.直线l的方程为，即2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(k1且kN*)时，2akbk1成立则2ak
6、1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上7已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解：(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1,2,3时，不等式显然成立假设当nk(k3，kN*)时不等式成立即1，那么，当nk1时，f(k1)f(k)，因为0，所以f(k1)g(k1)由、可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立
