1、43.2对数的运算目标 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用重点 对数的运算性质的推导与应用难点 对数的运算性质的推导和换底公式的应用知识点一对数的运算性质填一填如果a0，且a1，M0，N0.那么：(1)loga(MN)logaMlogaN.(2)logalogaMlogaN.(3)logaMnnlogaM(nR)答一答1若M，N同号，则式子loga(MN)logaMlogaN成立吗？提示：不一定，当M0，N0时成立，当M0，N0，a0且a1)两个公式吗？提示：设Mam，Nan，则MNamn.由对数的定义可得logaMm，l
2、ogaNn，loga(MN)mn.这样，我们可得loga(MN)logaMlogaN.同样地，设Mam，Nan，则amn.由对数定义可得logaMm，logaNn，logamn，即logalogaMlogaN.知识点二换底公式填一填前提条件原对数的底数a的取值范围a0，且a1原对数的真数b的取值范围b0换底后对数的底数c的取值范围c0，且c1公式logab换底公式常见的推论：(1)loganbnlogab；(2)logambnlogab，特别logab；(3)logablogba1；(4)logablogbclogcdlogad.答一答3换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的
3、对数化为同底数的对数4若log34log48log8mlog416，求m的值提示：log34log48log8mlog416，log4422，化简得lgm2lg3lg9，m9.类型一对数运算性质的应用例1计算下列各式：(1)lglglg；(2)；(3)lg25lg8lg5lg20(lg2)2.分析(1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2lg51化简解(1)(方法1)原式(5lg22lg7)lg2(2lg7lg5)lg2lg72lg2lg7lg5lg2lg5(lg2lg5)lg10.(方法2)原式lglg4lg(7)lglg()lg.(2)原式1.(3)原式2lg52lg2(1l
4、g2)(1lg2)(lg2)22(lg5lg2)1(lg2)2(lg2)2213.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：(1)把复杂的真数化简；(2)正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则，将它们化为对数的和、差、积、商，然后再化简；(3)逆用公式：对式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.变式训练1(1)计算：log5；log2(3242)9.(2)计算：lg8lg1253；lglg252；2log36log342.类型二换底公式的应用例2(1)计算：(log32log92)(log43log83)；(2)已知log1
5、89a,18b5，试用a，b表示log3645.解(1)原式.(2)由18b5，得log185b，log3645.利用换底公式可以统一“底”，以方便运算.在用换底公式时，应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：logablogba1.变式训练2计算下列各式：(1)(log2125log425log85)(log52log254log1258)(2)log6432.解：(1)方法1：原式log25(3log52)13log2513.方法2：原式13.(2)方法1：原式log23log23.方法2：原式.类型三 与对数方程有关的问题例3(1)若lg(xy)lg(x2y)lg2lgxlgy
6、，求的值；(2)解方程：loglog2(x2)3.解(1)由题可知lg(xy)(x2y)lg(2xy)，所以(xy)(x2y)2xy，即x2xy2y20.所以220.解得2或1.又因为x0，y0，xy0.所以2.(2)由方程可得log2xlog2(x2)log28.所以log2x(x2)log28，即x(x2)8.解得x12，x24.因为x0，x20，所以x2.对数方程问题的求解策略：,利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式，由真数相等求解方程，转化过程中注意真数大于零这一条件，防止增根.变式训练3(1)方程lgxlg(x1)1lg5的根是(B)A1B2C1或2 D1或2(2)
7、已知lgxlgy2lg(x2y)，则log的值为4.解析：(1)由真数大于0，易得x1，原式可化为lgx(x1)lg2x(x1)2x2x20x12，x21(舍)(2)因为lgxlgy2lg(x2y)，所以lgxylg(x2y)2，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20.所以(xy)(x4y)0，解得xy或x4y.因为x0，y0，x2y0，所以xy应舍去，所以4.故loglog44.类型四对数的实际应用例4人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系声音强度I的单位用瓦/平方米(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L110lg(单位为分贝，L10，其中
8、I011012 W/m2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)回答下列问题：树叶沙沙声的强度是11012W/m2，耳语的强度是11010W/m2，恬静的无线电广播的强度是1108W/m2，试分别求出它们的强度水平解由题意，可知树叶沙沙声的强度是I111012W/m2，则1，故LI110lg10，则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I211010W/m2，则102，故LI210lg10220，即耳语声的强度水平为20分贝同理，恬静的无线电广播强度水平为40分贝对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值
9、.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算.变式训练4抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg20.301 0)解：设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a(160%)n0.1%a(设原先容器中的空气体积为a)，即0.4n0.001，两边取常用对数得nlg0.47.5.故至少需要抽8次1设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(B)AlogablogcblogcaBlogablogcalogcbCloga(bc)logablog
10、acDloga(bc)logablogac解析：由换底公式得logablogcalogcb，所以B正确22log32log3log38的值为(B)A.B2C3 D.解析：原式log34log3log38log3log392.3lglg的值是1.解析：lglglg()lg1.4若a0，且a1，b0，且b1，则由换底公式可知logab，logba，所以logab，试利用此结论计算1.解析：1.5计算：(1)3log72log792log7；(2)(lg2)2lg2lg50lg25.解：(1)原式log78log79log7log78log79log79log780.(2)原式lg2(lg2lg50)2lg5lg2lg1002lg52lg22lg52(lg2lg5)2lg102.本课须掌握的两大问题1运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用(3)在运算过程中避免出现以下错误：logaNn(logaN)n，loga(MN)logaMlogaN，logaMlogaNloga(MN)2换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简