1、4.3对数43.1对数的概念目标 1.记住对数的定义，会进行指数式与对数式的互化；2.记住对数的性质，会利用对数的性质解答问题重点 对数的概念及对数的性质难点 对数概念的理解及对数性质的应用知识点一对数的概念填一填1对数的概念一般地，如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数对数与指数间的关系：当a0，a1时，axNxlogaN.2两种重要对数(1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.(2)自然对数：以无理数e(e2.718_28)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.答一答1在对数概念
2、中，为什么规定a0且a1呢？提示：(1)若a0，且a1)；(3)logaa1(a0，且a1)2对数恒等式alogaNN.答一答3为什么零与负数没有对数？提示：因为xlogaN(a0，且a1)axN(a0，且a1)，而a0且a1时，ax恒大于0，即N0，故0和负数没有对数4你知道式子alogaNN(a0，a1，N0)为什么成立吗？提示：此式称为对数恒等式设abN，则blogaN，abalogaNN.类型一对数的意义例1求下列各式中的实数x的取值范围：(1)log2(x10)；(2)log(x1)(x2)分析根据对数的定义列出不等式(组)求解解(1)由题意有x100，x10，实数x的取值范围是x|
3、x10(2)由题意有即x1，且x2.实数x的取值范围是x|x1，且x2变式训练1求下列各式中实数x的取值范围：(1)log(2x1)(3x2)；(2)log(x21)(3x8)解：(1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以解得x，且x1.即实数x的取值范围是x|x，且x1(2)因为底数x211，所以x0.又因为3x80，所以x.综上可知，x，且x0.即实数x的取值范围是x|x0，且a1，N0)是等价的，转化前后底数不变.2.对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个.变式训练2求下列各式中x的值(1)log2x；(2)logx33；(3)xl
4、og5；(4)logx24.解：(1)由log2x，得x22.(2)由logx33，得x33()3，x.(3)由xlog5，得5x54，x4.(4)由logx24，得x2()44，x2.类型三对数基本性质的应用例3求下列各式中x的值：(1)log3(log2x)0；(2)log2(lgx)1；(3)52log53x；(4)alogablogbcx(a0，b0，c0，a1，b1)分析利用logaa1，loga10，alogaNN(a0，且a1，N0)进行求解解(1)log3(log2x)0，log2x1.x212.(2)log2(lgx)1，lgx2.x102100.(3)x52log53.(4
5、)xalogablogbc(alogab)logbcblogbcc.对数的基本性质及对数恒等式是进行对数化简、求值的重要工具，要熟记并能灵活应用.变式训练3求下列各式中的x：(1)ln(lgx)1；(2)log2(log5x)0；(3)32log35x.解：(1)ln(lgx)1，lgxe，x10e.(2)log2(log5x)0，log5x1，x5.(3)x32log35323log359545.1把对数式mlognq化为指数式是(B)Amnq BnmqCnqm Dqmn解析：利用对数定义得nmq.2log3等于(B)A4 B4C. D解析：log3log3344.331log3.解析：31
6、log333 log33.4log5log3(log2x)0，则x.解析：log5log3(log2x)0，log3(log2x)1.log2x3.x23.x(23) 2.5把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式(1)52；(2)8x30；(3)3x1；(4)log92；(5)xlog610；(6)xln；(7)3lgx.解：(1)2log5；(2)xlog830；(3)xlog31；(4)()29；(5)6x10；(6)ex；(7)103x.本课须掌握的三大问题1对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即abNlogaNb(a0，且a1，N0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaabb；(2)alogaNN.2在关系式axN中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算3指数式与对数式的互化