1、第2课时函数的定义域与值域目标 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x)的函数的定义域重点 函数相等的概念，求函数的值域难点 求函数的值域，求形如f(g(x)的函数的定义域知识点一 函数相等填一填1条件：定义域相同；对应关系完全一致2结论：两个函数相等答一答1若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：函数定义域对应关系值域f1(x)xRxxRf2(x)2xRx2xRf3(x)x20,2xx20,4f4(x)x21,2xx20,4对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同
2、，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数知识点二函数的定义域填一填函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合2f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合3f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合4零(负)指数幂的底数不能为零5对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论6由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义答一答2函数f(x)(x1)0的定义域为(D)Ax|x1Bx
3、|x1Cx|1x2Dx|1x2解析：要使函数有意义，则只需解得1x2，所以函数的定义域为x|1x2故选D.知识点三 函数的值域填一填求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数yf(x)，其值域就是指其函数值的集合：f(x)|xA；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法答一答3已知函数yx2，x0,1,2，1，函数yx2的值域是什么？提示：当x0时，y0；当x1时，y1；当x2时，y4.所以函数的值域是0,1,4类型一 函数相等的判断例1下列各组函数：f(x)，g(x)x1；f(x)，g
4、(x)；f(x)，g(x)；f(x)，g(x)x3；汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)80t(0t5)与一次函数g(x)80x(0x5)其中表示相等函数的是_(填上所有正确的序号)解析不同，定义域不同，f(x)定义域为x|x0，g(x)定义域为R.不同，对应关系不同，f(x)，g(x).相同，定义域、对应关系都相同不同，值域不同，f(x)0，g(x)R.相同，定义域、对应关系都相同答案讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.变式训练1下列各组中两个函数是否表
5、示相等函数？(1)f(x)6x，g(x)6；(2)f(x)，g(x)x3；(3)f(x)x22x1，g(t)t22t1.解：(1)g(x)66x，它与f(x)6x定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数(2)f(x)x3(x3)，它与g(x)x3的定义域不同，故不是相等函数(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数类型二 函数的定义域命题视角1：求具体函数的定义域例2求下列函数的定义域，结果用区间表示：(1)y；(2)y .解(1)要使函数有意义，则有故函数的定义域是(2,3)(3，)(2)要使函数有意义，必须满足解得故函数的定义域是(，1)(1,0)
6、求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.变式训练2求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解：(1)由已知得解得x1且x5.所求定义域为x|x1且x5(2)由已知得解得x1且x0.所求定义域为x|x1且x0命题视角2：求抽象函数的定义域例3(1)已知函数f(x)的定义域是1,4，求函数f(2x1)的定义域(2)已知函数f(2x1)的定义域是1,4，求函数f(x)的定义域分析在对应关系相同的情况下， f(x)中x应与f(g(x)中g(x)的取值范围相同，据此可解答该题解(1)由已知
7、f(x)的定义域是1,4，即1x4，故对于f(2x1)应有12x14，22x3，1x.f(2x1)的定义域是.(2)由已知f(2x1)的定义域是1,4，即f(2x1)中，应有1x4，12x19.f(x)的定义域是1,9因为f(g(x)就是用g(x)代替了f(x)中的x，所以g(x)的取值范围与f(x)中的x的取值范围相同.若已知函数f(x)的定义域为a，b，则函数f(g(x)的定义域是指满足不等式ag(x)b的x的取值范围；而已知f(g(x)的定义域是a，b，指的是xa，b，要求f(x)的定义域，就是求xa，b时g(x)的值域.变式训练3已知函数f(x)的定义域为0,2，则g(x)的定义域为(
8、C)A0,1)(1,2B0,1)(1,4C0,1)D(1,4解析：由题意可知，解得0x1，故g(x)的定义域为0,1)，故选C.类型三 函数求值及求函数的值域例4(1)已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)求f(2)，g(2)的值；求fg(3)的值(2)求下列函数的值域：yx1，x1,2,3,4,5；yx22x3，x0,3)；y.分析(1)将自变量的值分别代入相应的函数解析式求出函数值；求fff(x)时，一般要遵循由里到外的原则(2)将自变量的值逐个代入求值；利用配方法结合二次函数图象求解；可通过分离参数求值域解(1)f(x)，f(2)，又g(x)x22，g(2)2226.g(3
9、)32211，fg(3)f(11).(2)(观察法)因为x1,2,3,4,5，分别代入求值，可得函数的值域为2,3,4,5,6(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为2,6)(分离常数法)y2，显然0，所以y2.故函数的值域为(，2)(2，)求函数值域的原则及常用方法(1)原则：先确定相应的定义域；再根据函数的具体形式及运算确定其值域.(2)常用方法：观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到.配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法.换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)axb(
10、其中a，b，c，d为常数，且ac0)型的函数常用换元法.分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.变式训练4求下列函数的值域(1)f(x)3x1，x5,2)；(2)y2x1，x1,2,3,4,5；(3)yx24x6，x1,5)；(4)y；(5)f(x).解：(1)x5,2)，153x6，163x15，函数f(x)3x1，x5,2)的值域是16,5)(2)x1,2,3,4,5，2x13,5,7,9,11，即所求函数的值域为3,5,7,9,11(3)yx24x6(x2)22.x1,5)，其图象如图所示，当x2时，y2；当x5时，y11.所求函数的值
11、域为2,11)(4)y.0，y，函数y的值域为yR|y(5)由题意可得，x2,4，因为f2(x)2222，所以f2(x)2,4，故函数f(x)的值域为，21函数f(x)的定义域为(A)A1,2)(2，)B(1，)C1,2) D1，)解析：由解得x1且x2.故选A.2函数f(x)x21(01C2,3 D2,5解析：0x2且xN*，x1或x2.f(1)2，f(2)5，故函数的值域为2,53若函数f(x)与g(x)是相等的函数，则函数f(x)的定义域是2,6)(6，)解析：20，x6，又x20，x2，g(x)的定义域为2,6)(6，)故f(x)的定义域是2,6)(6，)4已知函数f(x)的定义域为x
12、|1x1，则函数f(2x1)的定义域为x|1x0解析：因为f(x)的定义域为x|1x1，所以12x11，解得1x0.所以f(2x1)的定义域为x|1x05试求下列函数的定义域与值域：(1)f(x)(x1)21；(2)y；(3)yx.解：(1)函数的定义域为R，因为(x1)211，所以函数的值域为y|y1(2)函数的定义域为x|x1，y5，所以函数的值域为y|y5(3)要使函数式有意义，需x10，即x1，故函数的定义域为x|x1设t，则xt21(t0)，于是yt21t(t)2，又t0，故y，所以函数的值域为y|y本课须掌握的三大问题1两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应关系是否相同因为只要定义域相同，对应关系相同，则值域就相同2研究函数问题必须树立“定义域优先”原则求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域3求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解
