1、第三课时定点、定值、探索性问题A组基础巩固一、单选题1(2021湖北宜昌部分示范高中协作体联考)椭圆1(ab0)的离心率，则双曲线1的离心率为(D)A2BCD解析椭圆离心率e1，e1，即，双曲线的离心率e.故选D.2直线l与抛物线C：y22x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2，则直线l过定点(A)A(3,0)B(0，3)C(3,0)D(0,3)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2，所以.又y2x1，y2x2，所以y1y26.将直线l：xmyb代入抛物线C：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，得b3，即直线l的方程为
2、xmy3，所以直线l过定点(3,0)3(2022安徽皖江名校联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为P，任意一条平行于x轴的直线交C于A，B两点，总有PAPB，则双曲线C的离心率为(A)ABCD解析设A(x0，y0)，B(x0，y0)，则yb2，又P(a,0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)，由已知PAPB，则xa2y0，即(a2b2)0，对于x0a或x0a恒成立，故a2b2，即ab，所以e.故选A.4(2020安徽1号卷A10联盟联考)已知椭圆C：1(ab0)上存在两点M、N关于直线2x3y10对称，且线段MN中点的纵坐标为，则椭圆C的离心率是(B)ABCD解析设M(x1，y1)，
3、N(x2，y2)，则1，1，两式相减可得0，即.线段MN中点的纵坐标为，2x310，解得x，于是，解得，椭圆C的离心率e，故选B.(或直接利用性质kMNkOP，其中P为线段MN的中点)5(2021福建莆田质检)已知直线l过抛物线C：x26y的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若，则|AB|(A)A8B9C11D16解析过A作准线的垂线，垂足为H，则|AF|AH|，又，|AH|AP|，kAP，又F，AB的方程为yx，由，得y25y0，yAyB5，|AB|yAyBp538，故选A.6(2021陕西省渭南市模拟)抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(1,0)，
4、则的最小值是(B)ABCD解析由题意可知，抛物线的准线方程为x1，A(1,0)，过P作PN垂直直线x1于N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接PA，最小NAP最小PAF最大PA与抛物线y24x相切设PA的方程为：yk(x1)，所以，解得：k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以NPA45，cosNPA，故选B.二、多选题7(2022河北沧州质检)已知直线l：xty2与抛物线C：y28x交于A，B两点，若线段AB的中点是M(m,2)，则(AB)AtBm3C|AB|8D点(2,2)在以AB为直径的圆内解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将xty2与y28x
5、，联立消x可得，y28ty160，所以y1y28t4，解得t，选项A正确；因为M(m,2)在直线l：xy2上，所以m3，选项B正确；显然直线l过C的焦点，|AB|x1x2p(y1y2)4424410，选项C错误；设P(2，2)，则|MP|5|AB|，所以点(2,2)在以AB为直径的圆上，选项D错误故选AB.8(2021山东青岛调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(，0)和F2(，0)连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，直线l：yk(x2)与E交于A，B两点，则(AC)AE的方程为y21(x)BE的离心率为CE的渐近线与圆(x2)2y21相切D满足|AB|2的直线l仅有1条
6、解析设点P(x，y)，由已知得，整理得y21，所以点P的轨迹曲线E的方程为y21(x)，故A正确；又离心率e，故B不正确；圆(x2)2y21的圆心(2,0)到曲线E的渐近线yx的距离为d1，又圆(x2)2y21的半径为1，故C正确；(2,0)为双曲线y21的右焦点，且x2时，y，过右焦点的双曲线最短的弦(通径)为，又两顶点间距离为2，满足|AB|2的直线有3条，故D错选AC.三、填空题9(2021北京高考)已知抛物线C：y24x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|6，则M的横坐标是 5 ；作MNx轴于N，则SFMN4.解析因为抛物线的方程为y24x，故p2且F(1,0)因为|MF|6，
7、xM6，解得xM5，故yM2，所以SFMN(51)24.10(2021华东师大附中期中)若点Q(4,1)是抛物线y28x的弦AB的中点，则直线AB的方程为 4xy150 .解析解法一：点差法，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y8x1，y8x2，两式相减，得yy8(x1x2)，所以直线AB的斜率k4，所以直线AB的方程为y14(x4)，即4xy150.解法二：斜率法：设直线AB的方程为y1k(x4)，代入y28x，得k2x2(8k22k8)x(14k)20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(4,1)，所以x1x28，解得k4，所以直线AB的方程为4xy150.11(2021河南中
8、原名校联考)直线l与抛物线y24x交于两不同点A，B，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1y236，则直线l恒过点的坐标是 (9,0) .解析设直线l的方程为xmyn，则由得y24my4n0，又y1y236，4n36，n9，直线l方程为xmy9，恒过(9,0)四、解答题12(2021江苏连云港模拟)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作倾斜角为的两条直线，且这两条直线之间的距离为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，过点A作与x轴垂直的直线与椭圆交于点Q，证明：直线QB过定点解析(1)因为过椭圆E的左、右焦
9、点倾斜角为的两条直线间的距离为.所以sin ，所以c1，又因为椭圆的离心率为，所以a2，所以b2a2c23，椭圆E的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：xmy1，则Q(x1，y1)，因为直线l与坐标轴不垂直，所以直线QB：yy1(xx1)，所以yxx，由，得(3m24)y26my90，所以y1y2，y1y2，所以y(x4)，所以直线QB过定点(4,0)13(2022河南九师联盟摸底)已知椭圆C1：1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y28x的焦点(1)若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1,1)，求直线MN的斜率；(2)若过椭圆
10、C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明：是定值解析因为抛物线C2：y28x的焦点为(2,0)，所以8b24，故b24.所以椭圆C1方程为：1.(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减得0，又MN的中点为(1,1)，所以x1x22，y1y22.所以.显然，点(1,1)在椭圆内部，所以直线MN的斜率为.(2)椭圆右焦点F2(2,0)，当直线AB的斜率不存在或者为0时，.当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得消去y并化简得(12k2)x28k2x8k
11、280，因为(8k2)24(12k2)(8k28)32(k21)0，所以x1x2，x1x2.所以m，同理可得n，所以为定值14(2021广东省中山市期末)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为1(ab0)，则椭圆在其上一点A(x，y)处的切线方程为1，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且经过点A.(1)求椭圆C的方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P(点P在第一象限)，过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，问：线段PQ的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由解析(1)由题意知，椭圆C的方程为y21.(2)设
12、P(x0，y0)，题意可知，切线l的方程为x0x2y0y2，过原点O且与l平行的直线l的方程为x0x2y0y0，椭圆C的右焦点F(1,0)，所以直线PF的方程为y0x(x01)yy00，联立，所以Q，所以|PQ|为定值B组能力提升1(2021山东质检)已知椭圆C：1(ab0)过点P(2,1)，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点F1，F2为等腰直角三角形的三个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点若直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：直线l过定点解析(1)由题意1，bc，结合a2b2c2，解得a，b，椭圆方程为1.(2)证明：当直线l斜率不存在时，设直线l：
13、xm，A(m，ym)，B(m，ym)，kPAkPB1，解得m2(舍)或m6(舍)，故不满足当直线l斜率存在时，设l：ykxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理得(2k21)x24ktx2t260.8(6k2t23)0，x1x2，x1x2.则kPAkPB1，(k21)x1x2(tkk2)(x1x2)t22t30，将代入上式可得12k28ktt22t30，(2kt1)(6kt3)0，若2kt10，t12k，直线l经过P点与已知矛盾，若6kt30，t36k，48(5k26k1)存在k使得0成立直线l的方程为yk(x6)3，故直线l过定点(6，3)2(2022广西柳州模拟)已知椭圆C：1
14、(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求证：点(m，k)在定圆上解析(1)由已知e，2b2，b1，a2，椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km4m20，即(4
15、k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2，由得0m2，0，b0)过点(2，1)，离心率为，抛物线y216x的准线l交x轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N.(1)求椭圆C的标准方程和点A的坐标；(2)设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由解析(1)由题意，椭圆C：1(a0，b0)过点(2，1)，离心率为，可得1且e，又由c2a2b2，解得a28，b22，即椭圆C的方程为1，又由抛物线y216x，可得准线方程为l：x4，所以A(4,0)(2)设P(4，t)，Q(4，t)，可得MN：xky4，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组，整理得(k24)y28ky80，所以y1y2，y1y2，则y1y2ky1y2，又由直线PM：yx，QN：yx，交点横坐标为x42，所以PM与QN的交点恒在直线x2上