1、宝鸡市渭滨中学2021届高三月考（三）数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定集合，再确定，最后根据交集定义运算得出结果【详解】因为，而，且，所以，即.故选：C【点睛】本题主要考查了集合间并集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，并集和补集的定义，属于基础题2. 已知aR，若a1+(a2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为为实数，所以，故选：C【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求
2、解能力，属基础题.3. 设，则“”是“且”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】显然“且”成立时，“”一定会成立，所以是必要条件当时，“”成立，但“且”不成立，所以不是充分条件选B.4. 若函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则yf（x）的图象可能（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可.【详解】由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除，且两个拐点（即函数的极值点）在x轴上的右侧，排除
3、B.故选：.【点睛】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题.5. 已知函数，设，则是（ ）A. 奇函数，在上单调递减B. 奇函数，在上单调递增C. 偶函数，在上递减，在上递增D. 偶函数，在上递增，在上递减【答案】B【解析】【分析】由可知为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设的奇偶性,从而得到答案.【详解】解：为奇函数,又是奇函数,可排除C,D.又在上单调递增.故选B【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性,着重考查函数奇偶性的定义的应用,属于基础题.6. 在中，a=15,b=10,A=60，则=( )A. B. C. D. 【答案】D【解析
4、】【分析】利用正弦定理即可得到，进而得到结果.【详解】由正弦定理得，考点：正弦定理解三角形7. 已知函数给出下列结论：的最小正周期为；是的最大值；把函数图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象其中所有正确结论序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以周期，故正确；，故不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.8. 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（
5、）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.9. 已知函数，则A. 在（0，2）单调递增B. 在（0，2）单调递减C. 的图像关于直线x=1对称D. 的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合
6、函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C【名师点睛】如果函数，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心10. 已知向量 ，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.11. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：，函数在区间单调递增，在区间上恒成
7、立，而在区间上单调递减，的取值范围是故选D考点：利用导数研究函数的单调性.12. 已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式在区间上有解，设，由函数在上单调递增，可求得实数的取值范围.【详解】由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，设，则函数在上单调递增，所以，所以实数的取值范围为，故选：D.【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：有解，有解.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设函数若，则a=_【答案】1【解析】【分析】由题意首先求得导
8、函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.14. 已知 =，则的值是_.【答案】【解析】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15. 若在上是减函数，则a的最大值是_.【答案】【解析】分析】求出导函数，然后解不等式确定的范围后可得最大值【详解】由题意，的最大值为故答案为：【点睛】本题考查用导数研究函数的
9、单调性，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，根据导数与单调性的关系列不等式求解即可16. 若函数在处取得极大值，则正数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先求函数的导数，然后对的范围进行讨论，使得的左侧对应的值大于零，右侧对应的值小于零，即可求出实数的取值范围.【详解】的定义域是（0，+），当0a2时，令，解得：x或x，令，解得：x，在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，函数在x=处取得极大值，符合题意，a2时，f（x）0，递增，无极值，a2时，令，解得：x或x，令，解得：x，在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，函数在x处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意，综
10、上，a（，2），故答案为：（0，2）【点睛】该题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，学生往往忽视验证两侧的导数是否异号，是难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知是实数，函数是奇函数，求在上的最小值及取得最小值时的值；【答案】，【解析】【分析】根据函数的奇偶性求出参数，再根据对勾函数的单调性，求解最小值.【详解】因为是奇函数，故即：，解得，故为对勾函数，故，当且仅当，即时取得最小值.故得最小值为4，当时取得.【点睛】本题考查由函数奇偶性求参数值，以及求对勾函数的最值.18. 在中，角所对的边分别为已知（）求角的
11、大小；（）求的值；（）求的值【答案】（）；（）；（）.【解析】【分析】（）直接利用余弦定理运算即可；（）由（）及正弦定理即可得到答案；（）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（）在中，由，及正弦定理，可得；（）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.19. 已知为等差数列，前项和为.（1）求的通项公式及前项和；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设数列的公差为d，由，求得公差，可求得
12、的通项公式及前项和；（2）由（1）得，即可求得.【详解】（1）设数列的公差为d，由，得，则，所以，；（2）由（1）得，所以.【点睛】数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有，等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.20. 中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角
13、化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，.（2）由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.21. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
14、（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出f（x）40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义【详解】（1）由题意知，当时，即，解得或，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当时，；当时，；当时，单调递减；当时，单
15、调递增；说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为时，人均通勤时间最少【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力22. 设函数， （1）求的单调区间和极值；（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当时，函数取得极小值，同时也是最小值；（）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.试题解析：（）由，（）得.由解得.与在区间上的情况如下：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（）由（）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.
