1、3.2 空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量课时目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.理解直线的方向向量与平面的法向量在确定直线与平面时的作用1直线的方向向量直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的_2平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n_平面，记作_，此时把向量n叫做平面的_3平面法向量与平面内点之间的关系在空间直角坐标系内，设平面经过点P(x0，y0，z0)，平面的法向量n(A，B，C)，M(x，y，z)为平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式为_一、填空题1.已知A（3,5,2），B（-1,2,1），把按向量
2、a(2,1,1)平移后所得的向量是_2从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长AB34，则B点的坐标为_3已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则x_；y_.4设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k_.5已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m_.6若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则l的一个方向向量_.7.如图所示，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a_.8已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1
3、)，则平面ABC的单位法向量坐标为_二、解答题9已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2，0)，试求平面的一个法向量10ABC中，A(1，1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，设M(x，y，z)是平面ABC上任一点(1)求平面ABC的一个法向量；(2)求x，y，z满足的关系式能力提升11.在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求平面CMN的一个法向量12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点求证：是平面AB1C的法向量1直线的方向向量是一
4、个很重要的概念由定点A和方向向量a不仅可以确定直线l的位置，还可具体表示出l上的任意点；还可确定直线共线的条件，计算两条直线所成的角等2求解平面的法向量若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解3由平面的法向量和平面内一点可得到平面上任一点坐标满足的关系式3.2空间向量的应用32.1直线的方向向量与平面的法向量知识梳理1方向向量2垂直于n法向量3A(xx0)B(yy0)C(zz0)0作业设计1(4，3，1)解析(4，3，1)平移后向量的模和方向是不改变的，所以平移后的向量和向量相等2(18,17，17)解析设B(x，y，z)，(x2，y1，z7)(8,9，1
5、2)，0.故x28，y19，z712，又(x2)2(y1)2(z7)2342，得(17)2342，0，2.x18，y17，z17，即B(18,17，17)36解析l1l2，ab，则有2x12且2y15，解方程得x6，y.44解析(2，4，k)(1,2，2)，2，k4.58解析(2，m,1)0，得m8.6.或72解析以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设Q(1，y,0)，P(0,0，b)，D(0，a,0)，所以(1，y，b)，(1，ay,0)，由PQQD得1y(ay)00，即y2ay10有等根，所以0，即a240，得a2.8.或9解A(1,2,3)，B(2
6、,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)，设平面的法向量为n(x，y，z)依题意，应有n0，n0.即，解得.令y1，则x2.平面的一个法向量为n(2,1,0)10解(1)设平面ABC的法向量n(a，b，c)，(2,4，1)，(2,2,1)，.故可取n(3,2,2)平面ABC的一个法向量为n(3,2,2)(2)点M(x，y，z)是平面ABC上任一点，3(x1)2(y1)2(z2)0.3x2y2z10.这就是所求的x、y、z满足的关系式11解取AC中点O，连结OS、OB.SASC，ABBC，CASO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系Oxyz，则A(2,0,0)，B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，(1,0，)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则，取z1，则x，y，n(，1)因此平面CMN的一个法向量为(，1)12证明分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设|2，则E(2,2,1)，F(1,1,2)，A(2,0,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)(1，1,1)，(0,2,2)，(2,2,0)，220，220.平面AB1C.是平面AB1C的法向量