1、第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础巩固一、单选题1若点P(2，1)为圆x2y29的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为(A)A2xy50B2xy50C2xy50D2xy50解析由题意，知圆心O(0,0)且OPAB，而kOP，所以kAB2，又直线AB过P(2，1)，则AB所在直线的方程为y12(x2)，整理得2xy50.故选A.2(2022河南八市质检)过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(B)A2xy50B2xy70Cx2y50Dx2y70解析由题意，过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，圆心与切点连线的斜率为
2、k，切线的斜率为2，则圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70，选B.3(2021河南中原名校质量测评)直线l：ykx4与圆O：x2y24交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x2y1y20，则k2的值(B)A3B7C8D13解析由条件可得x1x20，圆O的圆心为(0,0)，半径为2，由x1x2y1y20可得1，故OAOB，故AOB为等腰直角三角形，故点O到直线l的距离为，即，解得k27.故选B.4(2021四川南充模拟)若直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短，则直线l的方程是(D)Ax0By1Cxy10Dxy10解析依题意，直线l：ykx1过定点P(0,1)圆C
3、：x2y22x30化为标准方程为(x1)2y24.故圆心为C(1,0)，半径为r2.则易知定点P(0,1)在圆内由圆的性质可知当PCl时，此时直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短因为kPC1，所以直线l的斜率k1，即直线l的方程是xy10.5(2021云南玉溪模拟)已知直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于M，N两点，且MON的面积S，则k(D)ABC或D或解析由题意知SsinMON，MON或，当MON时，MON为正三角形，圆心到直线的距离，解得k，当MON时，圆心到直线的距离为，解得k，故选D.6(2021河北沧州段考)已知直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴
4、，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|(B)A2B6C4D2解析圆C：x2y24x2y10，即(x2)2(y1)24，圆心为C(2,1)，半径为2.由题意可得，直线l：xay10经过圆C的圆心(2,1)，故有2a10，a1，点A(4，1)|AC|2，|CB|R2，切线的长|AB|6，故选B.7(2022河北唐山一中调研)若直线yk(x2)4与曲线y有两个交点，则k的取值范围是(C)A1，)BCD(，1解析直线yk(x2)4，当x2时，y4，可得此直线恒过A(2,4)，曲线y为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示：当直线y k(x2)4与半圆相切(切
5、点在第二象限)时，圆心到直线的距离dr，2，即4k216k1644k2，解得：k，当直线yk(x2)4过点C时，将x2，y0代入直线方程得：4k40，解得：k1，则直线与曲线有2个交点时k的范围为，故选C.8(2022山西大同学情调研)已知圆心在x轴上，半径为2的圆上有一点M(1,2)，则圆在点M处的切线方程是(D)Axy10B2xy0或xy30Cxy30Dxy10或xy30解析设圆心为C(a,0)，则|CM|2(a1)2228，解得a1或3.当a1时，kMC1，切线方程为y2(x1)，即xy30；当a3时，kMC1，切线方程为y2(x1)，即xy10，故选D.二、多选题9(2021河北张家口
6、、沧州模拟)已知直线l：kxy0与圆M：x2y22x2y10，则下列说法中正确的是(BCD)A直线l与圆M一定相交B若k0，则直线l与圆M相切C当k1时，直线l与圆M的相交弦最长D圆心M到直线l的距离的最大值为解析x2y22x2y10(x1)2(y1)21，故圆M是圆心为(1,1)，半径r1的圆，直线l过原点，若k0，则直线l：y0，直线l与圆M相切，故A错误，B正确；当k1时，直线l的方程为yx，过圆M的圆心，故C正确；由点到直线距离公式，知d(当k1时，等号成立)，或直线l过定点(0,0)，M到直线l距离最大为|OM|.故D正确故选BCD.10已知点A(1,0)，B(1,0)均在圆C：(x
7、3)2(y3)2r2(r0)外，则下列表述正确的有(ABD)A实数r的取值范围是(0，)B|AB|2C直线AB与圆C不可能相切D若圆C上存在唯一点P满足APBP，则r的值是31解析点A(1,0)，B(1,0)均在圆C：(x3)2(y3)2r2(r0)外，解得0r，故A正确；|AB|2，故B正确；0r0)上且唯一，点A(1,0)，B(1,0)均在圆C外，圆x2y21与圆C外切，且点P为切点，1r，即r31，故D正确故选ABD.11(2022江苏江阴学情检测)已知圆O：x2y24和圆M：x2y24x2y40相交于A，B两点，则(AD)A两圆有两条公切线B直线AB的方程为y2x2C线段AB的长为D圆
8、O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为3解析圆O：x2y24的圆心为(0,0)，半径r2，圆M：x2y24x2y40，即(x2)2(y1)21的圆心为(2,1)，半径R1，对于选项A，且rR|OM|0)与圆x2y21和圆(x 4)2y21均相切，则k，b.解析解法一：由直线与圆相切的充要条件知解法二：如图所示由图易知，直线ykxb经过点(2,0)，且倾斜角为30，从而k，且0b，b.四、解答题15一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，求此圆的方程解析解法一：所求圆的圆心在直线x3y0上，且与y轴相切，设所求圆的圆心为C (3a，a)，半径为r3|a|.又圆在
9、直线yx上截得的弦长为2，圆心C(3a，a)到直线yx的距离为d.有d2()2r2.即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.解法二：设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线xy0的距离为.r22()2.即2r2(ab)214.由于所求的圆与y轴相切，r2a2.又因为所求圆心在直线x3y0上，a3b0.联立，解得a3，b1，r29或a3，b1，r29.故所求的圆的方程是(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.解法三：设所求的圆的方程是x2y2DxEyF0，圆心为，半径为.令x0，得y2EyF0.由圆与y轴相切，得0
10、，即E24F.又圆心到直线xy0的距离为，由已知，得2()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心在直线x3y0上，D3E0.联立，解得D6，E2，F1或D6，E2，F1.故所求圆的方程是x2y26x2y10或x2y26x2y10即(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.B组能力提升1(2021河南中原名校联盟第三次联考)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为(D)A3x4y120或4x3y90B3x4y120或4x3y90C4x3y90或x0D3x4y120或x0解析圆的标准方程为(x1)2(y1)24，
11、由|AB|2知，圆心(1,1)到直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x0时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y3k(x0)，即kxy30，由1得k，此时直线l的方程为3x4y120，故选D.2(2022河北石家庄质检)若点P在曲线x2y2|x|y|上运动，则点P到直线xy20的距离的最大值为(A)A2B2CD4解析当x0，y0时，x2y2|x|y|222(x0，y0)，依次讨论x，y的符号知曲线由分别以正方形ABCD的四边为直径的半圆弧组成，如图，所求距离最大值为到直线的距离与之和，即2.故选A.3(2021湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知圆O
12、：x2y21上恰有两个点到直线l：ykx1的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围为(B)ABCD解析显然直线l过O上定点(0,1)，由题意可知圆心到直线l的距离大于，即，解得k，直线l的倾斜角，故选B.4(2021江西南昌二模)直线l：yk(x2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是(D)A(2,2)BC(1,1)D解析因为直线l：yk(x2)上存在两个不同点到原点距离等于1，故直线l与圆x2y21有两个交点，则圆心(0,0)到直线l的距离d1，解得k，所以k的取值范围是.故选D.5(多选题)(2021山东潍坊模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为
13、定值(1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系xOy中，已知A(4,2)，B(2,2)，点P满足2，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是(ABD)A圆C的方程是(x4)2(y2)216B过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为C过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为D在直线y2上存在异于A，B两点D，E，使得2解析因为A(4,2)，B(2,2)，点P满足2，设点P(x，y)，则2，化简得：x2y28x4y40，即(x4)2(y2)216.故A正确；因为AC8.R4，所以sin，则，解得，故B正确；易知直线的斜率存在，设直线l：kxy4k20，因为圆C上恰有三个点到直线l距离为2，则圆心到直线的距离为：d2，解得k，故C错误；假设存在异于A，B的两点D(m,2)，E(n,2)，则2，化简得：x2y2x4y0因为点P的轨迹方程为：x2y28x4y40，所以解得或(舍去)故存在D(12,2)，E(6,2)故D正确；故选ABD.
