1、福建省龙岩市 2018届高三下学期教学质量检查(4月)数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知是虚数单位，复数，则的共轭复数为（ ）A B C D2已知集合，若有3个真子集，则的取值范围是（ ）A B C D3九章算术是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（ ）
2、A B C D4已知实数满足，则的最大值为（ ）A B2 C4 D5执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为6，5，1，则输出的结果为（ ）A B C D方程没有实数根6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 7，则的大小关系是（ ）A B C D8已知二项式，则展开式的常数项为（ ）A B C D499已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为（ ）A1 B2 C D810已知满足，且，对于定义域内满足的任意，当取最小值时，的值为（ ）A或 B或 C D11设函数.若存在唯一的整数，使得，则实
3、数的取值范围为（ ）A B C D12如图所示，正方形的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量与的夹角为，且，则 .14已知点在直线上，则圆锥曲线：的离心率为 . 15在中，若，则的外接圆的面积的最小值为 .16已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若，则实数的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知数列的前项和是，且.（1）若，求的通项公式；（2）在（1）的条件下，求数列的前项和.18支付宝自
4、助付款可以实现人像识别身份认证和自动支付业务，于是出现了无人超市.无人超市的出现大大方便了顾客，也为商家节约了人工成本.某超市对随机进入无人超市的100名顾客的付款时间与购物金额进行了统计，统计数据如图所示：（时间单位：秒，付款金额RMB：元）（1）用统计中的频率代表一位顾客随机进店消费付款时间的概率，试求该顾客进店购物结算时所用时间的期望；（2）若一位顾客在结算时，前面恰有3个人正在排队，求该顾客等候时间不少于2分钟的概率.19已知四棱锥中，平面，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若的倾斜角为时，是等边三角形.（1）求椭圆的方
5、程； （2）若，求中边上中线长的取值范围.21已知函数.（1）求函数的极值点；（2）当时，恒有成立，求的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设，直线的参数方程是（为参数），已知与圆交于两点，且，求的普通方程.23选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）时，求不等式的解集；（2）若函数的图象恒在直线的图象的上方（无公共点），求实数的取值范围.龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题：本大
6、题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112选项CBADCDDBABAD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分134 14 15 16 三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（本小题满分12分）解：（）当时，即，整理得，所以 所以是一个公差为2的等差数列，又，所以，所以， 此时符合题意所以当时，上式不成立，所以 （）由（）可知， 所以 18（本小题满分12分）解：（）设一位顾客进店购物结算时间为，根据统计图表可知，的可能值为10，20，40，60， 所以 所以该顾客进
7、店购物结算时所用时间的期望为（秒） （）依题意可知，每个顾客各自的付款时间是相互独立的，若3位顾客付款时间总计不少于2分钟，则3人的付款时间可能有如下情况：3个60秒；2个60秒和另一个可以是10秒，20秒，40秒中任意一个；一个60秒，另外两个付款时间可以是20秒，40秒或40秒，40秒；三40秒 所以对应的概率为答：该顾客等候时间不少于2分钟的概率为 19（本小题满分12分）解：（）证明：过点在平面内作，交于点，因为，所以四边形为一个底角是60的等腰梯形， 所以，所以为中点，由题知，在中，又，所以，而，所以为的三等分点，连接，所以，又在中，所以，所以，所以，又平面，所以，因为，所以平面 （
8、）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以平面的一个法向量为， 又由（）知，所以在中，所以，所以，设平面的法向量为，所以即令，所以， 设二面角的平面角为，且为锐角，所以 20（本小题满分12分）解：（）由已知得：，所以 ，解得椭圆的方程 （）当直线的斜率为0时，显然不成立设直线， 联立得则 中边上的中线长为令则得 由，得， ， ，中边上中线长的取值范围是 21（本小题满分12分）解：（）由题意，得（i）当时，在上，在上， （ii）当时，令，解得或若，恒成立；若，在上，；在， 若， ，在上，；在（,与上，综上，当时，极小值点为，无极大值点；当时，极小值点为，极大值点为 ；当时，极
9、小值点为，极大值点为；当时，无极值点 （）设,因为，得,且函数在上单调递增 （i）当时，有，此时函数在上单调递增，则，若即时，有函数在上单调递增，则，符合题意； 若即时，存在满足，此时函数在 上单调递减，不符合题意； （ii）当时，有，存在满足，此时在上单调递减，此时函数在 上单调递减，不符合题意综上，实数的取值范围是 22（本小题满分12分）解：（）将代入圆的极坐标方程，得，化为圆的标准方程为. （）将直线的参数方程（为参数）代入圆的直角坐标方程中，化简得，设两点所对应的参数分别为，由韦达定理知 同号 又， 由可知或或解得， 的普通方程为. 23（本小题满分12分）解：（），即， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得，. 综上所述，不等式的解集为. （）由题意知恒成立， 当时，变形得恒成立， 当时，可以取任意实数；当时，变形得恒成立， 当时，变形得， 综上所述，实数的取值范围为.
