1、第9讲函数中的整数问题与零点相同问题 一选择题（共28小题）1（2021春河南期中）当时，已知，若存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是ABCD【解答】解：由题意知，函数在下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，当时，；当时，所以，函数的最小值为又，（1）直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选：2（2021春龙岩期末）已知函数与函数的图象相交于不同的两点，若存在唯一的整数，则实数的最小值是A0BCD1【解答】解：由得，设，求导，令，解得，时，单调递增；当时，单调递减；故当时，函数取得极大值，且，又时，；当时，故；作出函数大致图像，如图所示：又，因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，由图可
2、知：（2）（1），即，所以的最小值为故选：3（2021春鄂州期末）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为A7B8C5D11【解答】解：，令，则，令，解得：，当时，当时，故在上递增，在，上递减，则的最大值是，令，则，当时，此题无解，故，则时，当，当，解得：，故在递减，在，递增，则的最小值是，若成立，只需，即，即，两边取对数可得：，故的最大正整数为5，故选：4（2021春珠海期末）英国数学家布鲁克泰勒，以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，其中，（此处介于和之间）若取，则，其中，（此处介于0和之间）称作拉格朗日余项此时称
3、该式为函数在处的阶泰勒公式，也称作的阶麦克劳林公式于是，我们可得（此处介于0和1之间）若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余项，当不超过时，正整数的虽小值是A5B6C7D8【解答】解：由条件有，即因为7！，8！，所以的最小值为7故选：5（2021春自贡期末）函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是ABCD【解答】解：设，则，单调递增，单调递减，时，取得最大值为，（1）（1），直线恒过定点且斜率为，又，的取值范围，故选：6（2021南平模拟）设函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是A，BCD【解答】解：，令，得，易知函数的单调递减区间为，单调递增区间为则函数在处取得
4、极小值，且极小值为，如图所示：当时，无解；当时，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则，解得；当时，由于直线与轴的负半轴交于点，当时，关于的不等式有无数个整数解，不合乎题意综上所述，实数的取值范围是故选：7（2021春宿州期中）设为整数，对于任意的正整数，则的最小值是A2B3C4D5【解答】解：令，则，函数在上是减函数，累加得：，又，对于任意的正整数，则整数的最小值是3故选：8（2021乌鲁木齐二模）设函数，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：令，因为仅存在一个整数，使得，所以仅有一个整数，使得，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以（1），所以
5、满足条件的整数为1，由，可得为减函数，所以，即，解得，即实数的取值范围是，故选：9（2021中卫二模）已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为A，B，C，D，【解答】解：因为函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，所以的解集中恰有两个正整数，由可得，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，作出函数与的大致图象如图所示：当恰有两个正整数解时，即为1和2，所以，解得，故实数的取值范围为，故选：10（2021乌鲁木齐二模）设函数，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：令，因为仅存在一个整数，使得，所以
6、仅有一个整数，使得，因为，所以为偶函数，当时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以（1），当，当，由偶函数的性质可得当时，在上单调递减，在上单调递增，当，当，恒过定点，且，作出图象，由图象可得满足条件的整数为，所以，即，解得，即实数的取值范围是，故选：11（2021安庆二模）对任意，使得不等式成立的最大整数为ABC0D1【解答】解：由题意知，有，令，则，令，易知其单调递增，因为（2），所以存在，使得，因此在单调递减，在单调递增，所以最大整数为，故选：12（2021咸阳模拟）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：函数，其中，设，存在唯一
7、的整数，使得，存在唯一的整数，使得在直线的下方，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，当时，当时，直线恒过，斜率为，故，且，解得，的取值范围是，故选：13（2021襄城区校级模拟）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：令，则，令，得或；，得，在和，上单调递增，在上单调递减，且（2），当时，至多有一个整数解当时，在区间内的解集中有且仅有三个整数，只需，即，解得：，故选：14（2021鼓楼区校级开学）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：因为函数存在唯一的正整数，使得，所以存在唯一的正整数，使得，令，所以存在唯一
8、的正整数，使得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以（3），恒过点，当时，有无穷多个的值使得，当时，函数单调递增，作出图像：记上，所以实数的取值范围为，故选：15（2021香坊区校级四模）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：函数，因为存在唯一的正整数，使得，即存在唯一的正整数，使得，令，问题即转化为存在唯一的正整数，使得，令，解得，所以在上为单调递增函数，在区间上为单调递减函数，所以，过定点，当时，有无穷多个的值使得，当时，函数单调递增，由图象可以分析得到只有正整数使得，令，则，由图可知，实数的取值范围为故选：16（2021江苏期末）已知函数，
9、若存在，使不等式成立，则整数的最小值为AB0C1D2【解答】解：，则，所以为上的增函数，因为存在，使不等式成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立，即，令，当，时，单调递增，当，时，单调递减，又，所以，所以，解得，所以的最小值为故选：17（2021阜阳期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则满足条件的整数的个数为A1B2C3D4【解答】解：当时，单调递增，此时函数的值域为，当时，由，得，则因为，且函数恰有3个零点，所以，即，故整数的个数为3故选：18（2021舒城县校级期末）已知函数，若恒成立，则整数的最大值为A2B3C4D5【解答】解：，可化为，即，令，则令，则，当时，在单调递增又，使，则当
10、时，单调递减，当，时，单调递增，正整数的最大值为3故选：19（2021浙江期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：设，所以或者时函数递增，时递减，并且（1），（2），（3），（4），图象如图，函数经过，要使存在唯一的正整数，使得，即有唯一正整数解，所以只要并且，即，解得：；故选：20（2021春肥东县校级期中）已知函数，若不等式恰有三个不同的整数，则的取值范围是ABCD【解答】解：由，得，令，则过定点由题意知，存在3个正整数，使在直线的下方，当时，此时为增函数，当时，此时为减函数，即当时，取得极小值，同时也是最小值（1），且，（2），（3），直线恒过点，且
11、斜率为，由题意可知当时，不满足条件有很多整数解，则，此时，满足条件，由图象知，此时只能时，满足条件，则满足，即得，即，故实数的取值范围是，故选：21（2021攀枝花模拟）在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为ABCD【解答】解：由，化简得，设，则原不等式即为若，则当时，原不等式的解集中有无数个大于2的整数，（2），（2），（2）（2）当（3）（3），即时，设，则设，则，在，上为减函数，（4），当时，在，上为减函数，即，当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则，即，解得则实数的取值范
12、围为，故选：22（2021嘉兴期末）若不等式对，恒成立，则ABCD【解答】解：当或时，；当时，当或时；当时，设，则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，即，又，故故选：23（2021崇明区期末）若不等式对，恒成立，则的值等于ABC1D2【解答】解：当或时，当时，当或时，当时，设，则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，即，又，故故选：24（2021春温州期末）若不等式对任意的恒成立，则A，B，C，D，【解答】解：由选项可知，故原不等式等价于，当时，显然不满足题意，故，由二次函数的性质可知，此时必有，即故选：25（2016秋杭州期末）若不等式对任意的，恒成立，则AB，C，
13、D【解答】解：对任意，恒成立，当时，不等式等价为，即，当时，此时，则，设，若，则，函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；若，则，而此时时，不满足条件，故；函数在上，则，上，而在上的零点为，且在上，则，上，要使对任意，恒成立，则函数与的零点相同，即，故选：26（2021上城区校级期中）若在上始终成立，则的值为A0B1C2D3【解答】解：由在上成立，可得：，解得：经过验证只有时成立下面给出证明：在上始终成立，或时，此时成立时，此时成立因此只有时成立故选：27（2016秋宁波期末）已知函数，当时，则实数的取值范围为ABCD【解答】解：设，则在上为增函数，且（1），若当时，则满足当时，当时，即必需
14、过点点，则（1），即，此时函数与满足如图所示：此时，则满足函数的另外一个零点，即，故选：28（2021春杭州期末）若不等式对任意实数恒成立，则AB0C1D2【解答】解：不等式对任意实数恒成立，由于的解集为，可得在，恒成立，可得，且，即且，解得，又的解集为，可得在，恒成立，可得，或，即或，解得，综上可得，故选：二填空题（共16小题）29（2021春沈阳期中）已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是，【解答】解：设，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，当时，当时，所以，函数的最小值为又，（1），直线恒过定点且斜率为，故且，解得故答案为：，30（2021春南岗
15、区校级期末）已知函数为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是5（参考数据：，【解答】解：函数为大于1的整数），那么，令，可得，当，当，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为（a），即的值域为，的值域为，设（a），（a），当时，（a），函数（a）单调递减，当时，（a），函数（a）单调递增，（2），（3），（4），（5），的最小值为5，故答案为：531（2021春和平区校级期末）设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围，【解答】解：由，可得，即为，设，当时，单调递增，存在无数个整数，使得，不符合题意；当时，由于，所以，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值也是最大
16、值为，且时，时，所以作出函数和的大致图象，如图，过点的直线介于，之间时满足条件，直线过点时，的值为2，直线过点时，的值为，由图可知，的取值范围是，故答案为：，32（2021春顺德区期末）已知函数的导函数为，且函数的图像经过点，函数的表达式为；若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为【解答】解：由题意，设，因为函数的图像经过点，则，即，故；对任意一个负数，不等式恒成立，即对恒成立，令，则，令，解得，当时，故单调递减，当时，故单调递增，又，故存在，使得，当时，则单调递增，当时，则单调递减，所以当时，取得最大值，因为中，故，所以的最大值，当时，又整数，所以的最小值为2故答案为：；233（20
17、21春长沙期末）设，若时，均有，则【解答】解：当时，均有，（1）时，代入题中不等式，明显不成立（2），构造函数，它们都过定点考查函数：令，得，考查函数，时均有，故的图象经过，代入得，解之得：，或（舍去）故答案为：34设，若时均有，则【解答】解：（1）时，代入不等式，不等式明显不成立（2），构造函数，它们都过定点考查函数，令，得，因为，不等式成立；考查函数，因为时均有，显然此函数过点，代入得：，解之得：，或（舍去）故答案为：35（2021义乌市月考）已知，满足在定义域上恒成立，则的值为0【解答】解：令，解得或，依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾即
18、，解得经检验，符合题意故答案为：036（2021天河区校级模拟）已知当时，均有不等式成立，则实数的取值范围为【解答】解：当时，不等式，不恒成立，不符合题意；当时，令，则，由，解得，当时，则单调递增，当时，则单调递减，所以当时，有最大值，要使命题成立，则，解得；当时，函数是增函数，存在唯一的零点，即为增函数，又，但当时，所以有唯一的，要使不等式恒成立，只有，解得；综上所述，的取值范围为故答案为：37（2021德阳模拟）已知当时，均有不等式成立，则实数的取值范围为【解答】解：（1）根据题意，恒成立，恒成立，由得，恒成立，设，则，时，；时，时，取最小值，实数的取值范围为；（2）令，得是函数和的零点，
19、并得出，时，满足，同理时，也满足题意，的取值范围为故答案为：38（2015秋泰兴市校级期中）已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为【解答】解：当时，时，有，欲使，恒成立，则，；当时，时，有，欲使，恒成立，则，；故故答案为：39（2021河南模拟）已知函数，若恒成立，则的值为0【解答】解：令，解得或，依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾即，解得经检验，符合题意故答案为：040（2021春迎泽区校级月考）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是【解答】解：不等式在上恒成立，等价于或在上恒成立，令，（1）当时，而在上不恒成立，故，（2）当时，为增函
20、数，且经过点，令可得，故在上单调递增，令，解得（3）当时，为减函数，故在恒成立，故只需在上恒成立即可令可得，当时，当时，在上单调递增，在，上单调递减，故在处取得最大值，令，解得综上，的取值范围是，故答案为：，41（2015厦门一模）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是或【解答】解：，则，令，则，时，时，时，函数取得最大值，；时，则，在上不恒成立，不合题意；时，或，综上，或42（2021春丽水期末）设，若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为【解答】解：对任意的恒成立，或，若在上恒成立，则，即，当时，不成立，若在上恒成立，则，即，若在上恒成立，则，即，的最大值为故答案为：43（2021鄞州区校级期中）不等式对任意恒成立，则1【解答】解：由题意不等式，等价于或解，即，由绝对值的几何意义可知，对任意恒成立，由二次函数图象可知，故只能取1，解，由知无解，故答案为：144（2017秋石家庄期末）【示范高中】设，若对任意，都有，则【解答】解：根据题意，设，当时，而不可能在，上恒成立，必有，对于，在，在，；若，则对于，在，在，；而为一次函数，则必有，且，变形可得：，又由，则，；故；故答案为：
