1、2.4.1圆的标准方程 知识要点要点一圆的标准方程1圆的定义：平面内到_的距离等于_的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径2确定圆的要素是_和_，如图所示定点定长圆心半径3圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是_当ab0时，方程为x2y2r2，表示以_为圆心、半径为r的圆(xa)2(yb)2r2原点方法技巧圆的标准方程(x a)2(y b)2r2 中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径 r 是圆的定量条件要点二 点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x
2、0，y0)，则判断方法 位置关系几何法代数法 点在圆上|MA|r点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆内|MA|r点M在圆A内点M(x0，y0)在圆内(x0a)2(y0b)2r2点在圆外|MA|r点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外(x0a)2(y0b)2r2基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)方程(xa)2(yb)2r2.(a，b，rR)表示一个圆()(2)弦的垂直平分线必过圆心()(3)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心()(4)圆心与切点的连线长是半径长()2圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是()A(2,3)，1 B(2
3、，3)，3C(2,3)，2D(2，3)，2解析：由圆的标准方程可得圆心为(2，3)，半径为2.故选D.答案：D3以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()Ax2y22 Bx2y24C(x2)2(y2)28 Dx2y2 2解析：以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2y24.故选B.答案：B4点(1,1)在圆(x2)2y2m上，则圆的方程是_解析：因为点(1,1)在圆(x2)2y2m上，故(12)212m，m10.即圆的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y210.题型一求圆的标准方程例 1(1)以两点 A(3，1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A(x1)2(y2)210B
4、(x1)2(y2)2100C(x1)2(y2)225D(x1)2(y2)225解析：(1)AB为直径，AB的中点(1,2)为圆心，半径为12|AB|12 5325125，该圆的标准方程为(x1)2(y2)225.故选D.答案：(1)D(2)与y轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为_解析：(2)圆心坐标为(5，3)，又与y轴相切，该圆的半径为5，该圆的标准方程为(x5)2(y3)225.答案：(2)(x5)2(y3)225(3)过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的标准方程是_.解析：(3)方法一 设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件知1a21b
5、2r2，1a21b2r2，ab20，解此方程组，得a1，b1，r24.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.方法二设点 C 为圆心，点 C 在直线 xy20 上，可设点 C 的坐标为(a,2a)又该圆经过 A，B 两点，|CA|CB|.a122a12 a122a12，解得 a1.圆心坐标为 C(1,1)，半径长 r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.方法三由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0)，kAB1111 1，弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k1，AB 的垂直平分线的方程为 y01(x0)，即 yx.则圆心是直线 yx 与 xy20 的交点，由yx，xy20
6、，得x1，y1，即圆心为(1,1)，圆的半径为 1121122，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.答案：(3)(x1)2(y1)4方法技巧(1)直接法根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程(2)待定系数法根据题意，设出标准方程；根据条件，列关于 a，b，r 的方程组；解出 a，b，r，代入标准方程(3)常见的几何条件与可以转化成的方程圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心弦的垂直平分线经过圆心变式训练 1(1)圆心在
7、y 轴上，半径长为 5，且过点(3，4)的圆的标准方程是_解析：(1)设圆心(0，b)，则 3024b25，得b0或8，所以圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225.答案：(1)x2y225或x2(y8)225(2)与直线x6y100相切于点(4，1)且经过点(9,6)的圆的标准方程是_解析：(2)因为圆和直线x6y100相切于点(4，1)，所以过点(4，1)的直径所在直线的斜率为1166.其方程为y16(x4)，即y6x23.又因为圆心在以(4，1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y5257(x132)，即5x7y500上，所以由y6x23，5x7y500，解得圆心坐标为(3,5)
8、，所以半径为 932652 37，故所求圆的标准方程为(x3)2(y5)237.答案：(2)(x3)2(y5)237(3)过A(5,1)，B(1,3)两点圆心在x轴上的圆的标准方程是_解析：(3)线段AB的垂直平分线为y22(x3)，令y0，则x2，圆心坐标为(2,0)，半径r 522102 10，圆的标准方程为(x2)2y210.答案：(3)(x2)2y210题型二点与圆的位置关系的判断及应用1点 P(m,5)与圆 x2y224 的位置关系是()A在圆外B在圆内C在圆上D不确定解析：m22524，点P在圆外故选A.答案：A2已知点A(1,2)不在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，则实数
9、a的取值范围为_解析：由题意，点A在圆C上或圆C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a52.a0，a的取值范围为52，0)(0，)答案：52，0)(0，)方法技巧1判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断2灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围题型三与圆有关的最值问题例 2已知 x 和 y 满足(x1)2y214，求 x2y2的最值分析：首先观察 x，y 满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值.解析：由题意知x2y2表示圆上的点
10、到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值原点O(0,0)到圆心C(1,0)的距离d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为11232，最小距离为11212.因此x2y2的最大值和最小值分别为94和14.变式探究 1本例条件不变，求yx的取值范围解析：设k yx，变形为k y0 x0，此式表示圆上一点(x，y)与点(0,0)连线的斜率，由k yx，可得ykx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离dr，即|k|k2112，解得 33 k 33.即yx的取值范围是 33，33.变式探究 2本例条件不变，求 xy 的最值解析：令yxb并将其变形
11、为yxb，问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|1b|212，解得b 22 1，即最大值为 22 1，最小值为 22 1.方法技巧与圆有关的最值问题的常见类型及解法1形如 uybxa形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题2形如 laxby 形式的最值问题，可转化为动直线 yabxlb截距的最值问题3形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题变式训练 2已知圆 C：(x3)2(y4)21，点 A(0，1)，B(0,1)，设
12、P 是圆 C 上的动点，令 d|PA|2|PB|2，求 d 的最大值及最小值解析：设P(x，y)，则d|PA|2|PB|22(x2y2)2.|CO|2324225，(51)2x2y2(51)2.即16x2y236.d的最小值为216234.最大值为236274.易错辨析利用函数的思想处理问题时忽略了函数的定义域例 3已知点 A(2，2)，B(2,6)，C(4，2)，点 P 在圆x2y24 上运动，则|PA|2|PB|2|PC|2 的最大值为_解析：设 P(a，b)则|PA|2|PB|2|PC|2(a2)2(b2)2(a2)2(b6)2(a4)2(b2)23a23b24b68.点 P 在圆 x2y24 上运动a2b24a24b20，2b23a23b24b68123b23b24b684b80，因为 y4b80 是2,2上的减函数所以函数的最大值为 88.|PA|2|PB|2|PC|2 的最大值为 88.答案：88【易错警示】易错原因纠错心得因为点 P 在圆 x2y24 上，所以在利用函数的思想处理时，容易忽略求 b 的范围出错.本题自变量 b 的范围，可以像解析中的进行推导，也可以直接观察圆的图象，发现 b 的取值范围是2,2.谢谢 观 看