1、1.1.2余弦定理 选题明细表知识点、方法题号已知两边及一角解三角形2,5,7已知三边或三边关系解三角形1,3,6利用余弦定理判断三角形的形状4,12综合应用问题8,9,10,11基础巩固1.在ABC中,a=7,b=4,c=,则ABC的最小角为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由三角形边角关系可知,角C为ABC的最小角,则 cos C=,所以C=,故选B.2.在ABC中,已知A=30,且3a=b=12,则c的值为(C)(A)4(B)8(C)4或8(D)无解解析:由3a=b=12,得a=4,b=4,利用余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即16=48+c2-12c,解得c=4或c=8.
2、故选C.3.(2019重庆高二月考)已知a,b,c是ABC的三边长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C的大小为(C)(A)60(B)90(C)120(D)150解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,所以c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C,所以cos C=-,所以C=120.故选C.4.在ABC中,B=60,b2=ac,则此三角形一定是(B)(A)直角三角形 (B)等边三角形(C)等腰直角三角形(D)钝角三角形解析:由余弦定理,得b2=a2+c2-ac,又因为b2=ac,所以a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,所以a=
3、c,因为B=60,所以A=C=60.故ABC是等边三角形.故选B.5.在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=,c=2,则b=.解析:因为a=2,B=,c=2,所以b=2.答案:26.在ABC中,sin Asin Bsin C=324,则cos C= .解析:因为sin Asin Bsin C=324,所以abc=324.令a=3k,b=2k,c=4k(k0),则cos C=-.答案:-7.(2019大连高二期末)在ABC中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.解:在ABC中,因为A+C=2B,A+B+C=180,所以B=60.由余弦定理,得b2=a2+c2-
4、2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B=82-215-215=19.所以b=.能力提升8.(2019烟台高二期末)在ABC中,有下列关系式:asin B=bsin A;a=bcos C+ccos B;a2+b2-c2=2abcos C;b=csin A+asin C.一定成立的有(C)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:对于,由正弦、余弦定理,知一定成立.对于,由正弦定理及sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,知显然成立.对于,利用正弦定理,变形得sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C,又s
5、in B=sin(A+C)=cos Csin A+cos Asin C,与上式不一定相等,所以不一定成立.故选C.9.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C =2sin B,则A等于(A)(A)30(B)60(C)120(D)150解析:因为sin C=2sin B,由正弦定理,得c=2b,所以cos A=,又A为三角形的内角,所以A=30.故选A.10.(2019湖南株洲检测)在ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=.解析:因为b+c=7,所以c=7-b.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2=4+(7-b)2-22(
6、7-b)(-),解得b=4.答案:411.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.(1)求的值;(2)若cos B=,ABC的周长为5,求b的长.解:(1)由正弦定理可设=k,则=,所以=,即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B,化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=,所以sin C=2sin A,因此=2.(2)由=2,得c=2a.由余弦定理及cos B=,得b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2=4a2,所以b=2a.又a+b+c=5,所以a=1,因此b=2.探究创新12.在ABC中,a,b
7、,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.解:(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可求得cos A=-.又因为A为ABC内角,所以A=120.(2)由a2=b2+c2+bc,得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C,又因为A=120,sin B+sin C=1,所以sin B=sin C=.0B90,0C90,故B=C.所以ABC是等腰的钝角三角形.
