1、第49讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 一、单选题1（2021浙江高三月考）已知随机变量满足，其中.令随机变量，则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.【详解】随机变量满足,其中.则随机变量的分布列为: 所以 随机变量,所以当时,当时, 所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):则当即,解得.所以A、B错误.恒成立.所以C错误,D正确故选:D【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.2（2021广西南宁市东盟中学模拟预测
2、（理）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）ABCD【答案】B【分析】设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，求出即得解.【详解】解：设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，则；故该部件能正常工作的概率为.故选：B3（2021河南高三月考（理）年国庆节期间，小李报名参加市电视台举办的“爱我祖国”有奖竞答活动，活动分两轮回答问题，第一轮从个题目中随机选取个题目，这个题目都回答
3、正确，本轮得奖金元，仅有个回答正确，本轮得奖金元，两个回答都不正确，没有奖金且被淘汰，有资格进入第轮回答问题者，最多回答两个问题，先从个题目中随机选取个题目回答，若回答错误本轮奖金为零且被淘汰，若回答正确，本题回答得奖金元，然后再从剩余个题目中随机选个，回答正确，本题得奖金元，回答错误，本题回答没有奖金.已知小李第一轮个题目其中个能回答正确，第二轮每个题目回答正确的概率均为（每轮选题相互独立），则小李获得元的概率为（ ）ABCD【答案】B【详解】小李获得元奖金，则第一轮个题目回答都正确，第二轮第个题目回答正确，第个题目回答错误，所以所求概率，故选：B.4（2021重庆九龙坡高三期中）有5把外形
4、一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）ABCD【答案】B【分析】恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：前三把都能开锁，第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，由此能求出恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率【详解】有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，恰好试开3次就将能开锁的和不能开
5、锁的钥匙区分出来的情况为3种：前三把都能开锁，第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：故选：B5（2021四川高三期中（理）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为（ ）ABCD【答案】B【分析】先由正态分布的概率情况求出，然后由二项式定理展开式的通项公式可得答案【详解】由随机变量，且，则 则由的展开式的通项公式为： 令，解得，令，解得 所以的展开式中的常数项为：故选：B.6（2021广东中山模拟预测）为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，
6、约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（ ）ABCD【答案】B【分析】由题可知传球共有32种可能，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，即求.【详解】由题可知，开始在A同学脚下，5次传球共有32种可能，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，球回到A同学脚下的概率为.故选：B.7（2021浙江模拟预测）已知随机变量的分布列如下：X123Pab2ba则的最大值为（ ）AB3C6D5【答案】C【分析】根据概率和为1得到，再计算，得到，计算最值得到答案.【
7、详解】，只需求的最大值即可，根据题意：，所以，当时，其最大值为，故的最大值为故选：C.8（2021云南峨山彝族自治县第一中学高三月考（理）设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（ ）-2-10A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】A【分析】由分布列的性质求得，再求、关于的表达式，由及得到关于的二次函数，即可判断的单调性.【详解】由分布列的性质：，可得， ，又，在上增大时，增大.故选：A9（2021山东安丘市普通教育教学研究室高三月考）投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中
8、“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”.“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（0筹）的概率为.乙的投掷水平与甲相同，且甲乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ ）ABCD【答案】C【分析】由题知使三场比赛结束时，甲获胜，第第三局甲、乙获得的筹数可能为：（5,0），（6,0），（10,0），（10,2），（10,4），（10,5），进而根据独立事件的概率求
9、解即可得答案.【详解】解：根据题意题，要使三场比赛结束时，甲获胜，第第三局甲、乙获得的筹数可能为：（5,0），（6,0），（10,0），（10,2），（10,4），（10,5），甲、乙对应的投中情况可能为（散射，未投中），（双耳，未投中），（依杆，未投中），（依杆，有初），（依杆，贯耳），（依杆，散射），所以甲获胜的概率为： .故选：C二、多选题10（2021福建厦门外国语学校模拟预测）下列说法正确的是（ ）A设随机变量X等可能取，n，如果，则B设随机变量X服从二项分布，则C设离散型随机变量服从两点分布，若，则D已知随机变量X服从正态分布且，则【答案】ABC【分析】对于A：由，解之可判断；对于
10、B，根据二项分布可判断；对于C，根据两点分布计算可判断；对于D：根据正态分布的对称性可判断；【详解】对于A：对于，故A正确；对于B，设随机变量X服从二项分布，则，故B正确；对于C，因为且，故C正确；对于D：随机变量服从正态分布正态曲线的对称轴是.，D错误；故选：ABC.11（2021重庆市涪陵实验中学校高三期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球则下列结论中正确的是（ ）ABC事件B与事件相互独立D，两两互斥【答案】AD【分
11、析】首先由互斥事件的定义，可知D正确，再结合条件概率公式，即可计算，并判断选项.【详解】由题意知，两两互斥，故D正确；，故A正确；，所以B与不是相互独立事件，故B，C不正确故选：AD12（2021江苏海安高级中学高三月考）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，则下列说法正确的是（ ）ABC若A，B独立，则D若A，B互斥，则【答案】BCD【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断【详解】选项A中：，故选项A错误, 选项B正确；选项C中：A，B独立，则，则，故选项C正确；选项D中：A，B互斥，则根据条件概率公式，故选项D正确，故选：BCD13（2021重庆西南大学附中高三月考）假设
12、两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（ ）参考数据：若，则，ABCD【答案】AD【分析】由计算可判断A；由可判断B；由图可知Y分布更集中，有，由此可判断C；由图可知，由此可判断D.【详解】解：由正态分布，则，故A正确；，故B错误；由图可知Y分布更集中，所以，则，所以C错误；由图可知，所以，则D正确，故选：AD.14（2021全国高三专题练习）（多选）若随机变量，其中，则下列等式成立的是（ ）ABCD【答案】AC【分析】由题意可得正态曲线关于对称，可判断A；分别计算和可判断B；计算可判断C；计算结合选项C可判断D，进而可
13、得正确选项.【详解】因为随机变量服从标准正态分布，所以正态曲线关于对称，如图所示.又，所以，故选项A正确；因为，所以，故选项B不正确；因为，故选项C正确；，故选项D不正确；故选：AC.15（2021江苏金陵中学高三期中）为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，.A该校学生体育成绩的方差为10B该校学生体育成绩的期望为70C该校学生体育成绩的及格率不到D该校学生体育成绩的优秀率超过【答案】BC【分析】由正态分布的期望、方差判断A、B正误，利用正态分布的对称性，结合特殊区间
14、概率的求法求、即可判断C、D的正误.【详解】A：由题设知，所以该校学生体育成绩的方差，错误；B：由题设知，即该校学生体育成绩的期望为70，正确；C：，所以该校学生体育成绩的及格率不到85%，正确；D：，故该校学生体育成绩的优秀率为2.28%，故错误；故选：BC.三、双空题16（2021四川成都七中高三期中（理）已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布.（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_；（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为_（参考公式：若，则）
15、【答案】#【分析】由题设可知，利用正态分布的对称性求电子元件的使用寿命超过天的概率，应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求电路在天后仍能正常工作的概率.【详解】由题设知：，.由题意，要使电路能正常工作的概率.故答案为：，.四、填空题17（2021浙江省杭州第二中学模拟预测）有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_.【答案】【分析】设随机变量，可求得随机变量两个取值所对应的概率，由此得到分布列，从而计算得到，由可求得结果.【详解】由题意知：大楼共层，设随机变量，则，则的分布列如下：，.故答案为：.
16、【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够明确当电梯不停时，无人能走出电梯，从而结合对立事件概率公式确定电梯在每层停与不停所对应的概率，进而得到分布列.18（2021浙江金华高三月考）一个布袋中装有个大小质地相同的小球，颜色白黑红，从中任意取出球，记取到白球每个得分，取到黑球每个得分，取到红球每个得分，设取出的球得分总和为则_【答案】【分析】分析可知随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、，因此，.故答案为：.19（2021黑龙江哈尔滨市第六中学校模拟预测（理）投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件
17、：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率_【答案】【分析】首先根据古典概型的概率计算公式，求得，再求，由即可得解.【详解】设红蓝两颗骰子的点数分别为，基本事件用表示，共有种情况，事件包含基本事件，共6种，则，事件和事件同时发生的基本事件为，共5种，则，故事件发生的条件下事件发生的概率故答案为：20（2021河南高三月考（理）某专业资格考试包含甲、乙、丙个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙、丙科目合格的概率相等，且个科目是否合格相互独立设小张科中合格的科目数为，若，则_【答案】【分析】设乙、丙科目合格的概率均为，则，解方程可得，进而可得分布列及期望.【详解】乙、丙科目合格的
18、概率相等，可设乙、丙科目合格的概率均为，则，解得，故，故分布列为：期望，故答案为：.五、解答题21（2021广西桂林模拟预测（理）已知火龙果的甜度一般在1120度之间，现某火龙果种植基地对在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了100个火龙果，根据水果甜度（单位：度）进行分组，若按，分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示，若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”甜度频数581210161418125新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表（1）设两种施肥方法下的火龙果的甜度相互
19、独立，记表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，以样本估计总体，求事件的概率（2）根据上述样本数据，列出列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关？（3）以样本估计总体，若从旧施肥方法下的100个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取2个，设“超甜果”的个数为，求随机变量的分布列及数学期望附：0.0250.0100.0055.0246.6357.879，其中【答案】（1）（2）列联表见解析；有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关（3）分布列
20、见解析；期望为【分析】（1）首先根据频率分布表，计算新，旧方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率，再利用独立事件概率求；（2）由题意可得列联表，求计算，再根据临界值，即可判断；（3）由题意可得随机变量的所有可能取值为0，1，2，再利用超几何概率分布，求分布列和数学期望.（1）记表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”，表示事件：“新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，则有由频率分布直方图可知旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度的频率为由频数分布表可知新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率为故事件的概率为（2）依题意可得到列联表非超甜果超甜果合计旧施肥方法6040100新施肥
21、方法3565100合计95105200，故有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关（3）旧施肥方法下的100个火龙果中，“非超甜果”为60个，“超甜果”为40个，按分层抽样的方法随机抽取5个，则抽取的“非超甜果”为3个，“超甜果”为2个，所以随机变量的所有可能取值为0，1，2，随机变量的分布列为012数学期望22（2021广东广雅中学高三月考）正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述例如，同一种生物体的身长、体重等指标随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化为了调查某水
22、库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重经整理分析后发现，鱼的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知（1）若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在内的概率；（2）从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表重量范围（单位：）条数132为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中体重在内的条数为，求随机变量的分布列和数学期望；若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生，两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其中带有标记的有2条为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重
23、在内的鱼的条数【答案】（1）0.22；（2）分布列见详解；1；47000；4136 .【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性有，计算后即可得出答案；（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，根据超几何分布的概率求法求出各种情况的概率，可得到其分布列，再由公式求出数学期望；设水库中共有条鱼，根据题意有，先求出，又由（1）可知，从而可求出应捕捞体重在内的鱼的条数.（1）解：已知鱼的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知， 所以从水库中随机捕捞一条鱼，鱼的重量在内的概率为0.22.（2）解：挑出6条鱼中，体重在内有2条，则从6条鱼中随机选出3条，得随机变量的所有可能取值为0，1，2，
24、；所以的分布列为：012数学期望. 设水库中共有条鱼，根据题意有，则（条），所以估计水库中有47000条鱼；由（1）可知，则体重在内的鱼应捕捞（条）.23（2021四川高三期中（理）为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了人，其中男生占总人数的，且只有的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下列联表：不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生女生合计（1）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；（2）从男
25、生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这中随机抽取人，若所选名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望附：，其中【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联（2）分布列见解析，数学期望为【分析】（1）根据题意求出表中数据，计算卡方值即可判断；（2）随机变量的取值可以是，求出取不同值的概率，即可求出分布列和期望.（1）补充列联表如下：不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生女生合计根据列联表中的数据，所以有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联（2）抽取的人中，有人不适应寄宿生活，有人适应寄宿生活，故随机变量的取值可以是
26、，随机变量的分布列如下：因此，24（2021全国模拟预测）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是23米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优（）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；（）（）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，
27、求的分布列和数学期望；（）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望附：若，则，【答案】（）0.84；（）（）分布列见解析，；（）4.【分析】（）根据“”原则及图形的对称性即可求解；（）（）由题可知服从超几何分布，利用公式即可求解；（）由题可知服从二项分布，利用公式即可求解【详解】（）由，易知，则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84（）（）由题意知，的分布列为（）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，【
28、点睛】方法点睛：本题以北斗三号全球卫星导航系统为背景，考查正态分布、超几何分布、二项分布，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.25（2021湖南长郡中学高三月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在治贫先治愚，扶贫先扶智为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动支教活动共
29、分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由【答案】（1）（2）分布列见解析（3）最有可能是1人，理由见解析【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；（2）先写出X的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为、，分别求出相应的概率，比较、的大小关系，
30、由此可得出结论.（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2；所以分布列为：X012P0.10.60.3（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0，1，2，则有：，因为，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人26（2021全国模拟预测）2021年7月24日，中国选手杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，为中国代表团揽入本界奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织200名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击技能
31、分数（单位：分），将所得数据分成7组：，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数；（2）从样本中射击技能分数在的射击爱好者中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进一步进行射击训练，记抽取的3人中射击技能分数不低于70分的人数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）先根据频率分布直方图得到射击技能分数低于60分的频率，然后可得射击技能分数低于60分的人数；（2）根据频率分布直方图及分层抽样的知识得到抽取的8人中射击技能分数不低于70分的人数和射击技能分数低于70分的人数，然后写
32、出X的所有可能取值，根据超几何分布的概率公式分别求出各个取值对应的概率，最后可得分布列和数学期望.（1）由频率分布直方图可知，射击技能分数低于60分的频率为，所以这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数为.（2）由频率分布直方图可知，射击技能分数在，的频率分别为0.2，0.4，0.2，由分层抽样的知识知抽取的8名射击爱好者中，射击技能分数不低于70分的人数为，则射击技能分数低于70分的人数为.所以X的所有可能取值为1，2，3， ；X的分布列为X123P所以.27（2021云南高三月考（理）为了提高检测某种病毒的效率，某医院将采取混合血样检测的方法.血液化验结果呈阳性则说明有人感染，否
33、则，无人感染.现有5人待测血样（其中1人感染），将每人的待测血样平均分为甲、乙两组.甲组：先将2人的血液混在一起检验.若结果呈阳性，则再从这2人中任选1人检验；若结果呈阴性.则另外3人再逐个检验，直至确定出该感染者.乙组：先将3人的血液混在一起检验.若结果呈阳性，则再逐个化验，直至确定出该感染者；若结果呈阴性，则再从另外2人中任选1人检验，直至确定出该感染者.（以上检测次数均指最少次数）（1）求甲组化验次数多于乙组化验次数的概率；（2）X表示甲组所需化验的次数，求X的期望.【答案】（1）（2）【分析】(1)设事件，分别表示依方案甲需要化验2次，3次；事件，分别表示依方案乙需化验2次，3次，则与
34、独立，则，利用独立事件的概率公式分别求出即可；(2)X的可能取值为2，3，分别求出，写出X的分布列，利用随机变量的方差公式计算即可.（1）设事件，分别表示依方案甲需要化验2次，3次，事件，分别表示依方案乙需化验2次，3次，事件A表示甲组化验次数多于乙组化验次数.依题意，显然与独立，则，.故甲组化验次数多于乙组化验次数的概率为；（2）X的可能取值为2，3，.的分布列为23.28（2021江苏海安高级中学高三月考）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在N处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试
35、，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为，投中2分球的概率为，且每次投篮结果相互独立不受影响（1）若甲同学先投3分球，则通过测试的概率；（2）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？并说明理由【答案】（1）；（2）甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大；理由见解析【分析】（1）甲同学通过测试包括3种情况：一是在M处投进3分球，在N处第一次投进2分球，二是在M处投进3分球，在N处第一次没投进，第二次投进2分球，三是在M处没投进3分球，在N处连续两次投进2分球，分别求出对应的概率，再利用相互独立事件的概率公式求解即可，（2）记甲同
36、学先投3分球投篮累计得分为X，先投2分球投篮累计得分为Y，则X可能取0，2，3，4，5，Y可能取0，2，4，5，求出其对应的概率，从而可求出X，Y的期望，进行比较即可【详解】解：（1）记甲同学通过测试的概率为p，则；（2）记甲同学先投3分球投篮累计得分为X，先投2分球投篮累计得分为YX可能取0，2，3，4，5， Y可能取0，2，4，5，故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大29（2021河北保定高三期中）新疆棉以绒长品质好产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按
37、照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价成本）；（2）某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的
38、总收益.求当时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.【答案】（1）B类服装单件收益的期望更高（2）n可取的最大值为3，（元）【分析】（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可计算；（2）由题知B类服装的销售件数符合二项分布，求出对应，的值，可确定的最大值；先列出这5件衣服总收益关于X的关系式，得，结合化简即可求解.（1）设A类服装B类服装的单件收益分别为X1元，X2元，则，故B类服装单件收益的期望更高；（2）由题意可知，.因为，所以当时，n可取的最大值为3.（元），因为，所以（元）.30（2021四川双流中学高三期末（理）随着华为手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及
39、，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.付款方式分期分期分期分期分期频数已知分期付款的频率为，并且销售一部手机，若果顾客分期付款，商家利润为元；分期或期付款，其利润为元；分期或期付款，其利润为元，以频率作为概率.（1）求、的值，并求事件“购买手机的位顾客中，至多有位分期付款”的概率；（2）用表示销售一部手机的利润，求的分布列及数学期望.【答案】（1），所求概率为（2）分布列见解析，.【分析】（1）根据表格中的数据和题中信息可求得、的值，再利用独立重复试验的概率公式可求得事件发生的概率；（2）分析可知随机变量的可能取值为、，计
40、算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可计算得出的值.（1）解：由，得，因为，所以.由独立重复试验的概率公式可得.（2）解：设分期付款的分期数为，则，.的所有可能取值为、.，.所以的分布列为 （元）.31（2021山东潍坊高三期中）2021年7月18日第届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；（2）在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，的三组中
41、抽取了人，再从这人中随机抽取人，记的分布列和数学期望；（3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为等级，其它为等级以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？【答案】（1），中位数68.（2）分布列见解析；期望.（3），当k=40时，最大【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，代入数据，即可求得m值，根据频率分布直方图中中位数的求法，代入数据，即可得答案.（2）根据三组数据频率比，可求得三组数据的人数，则可取0,1,2,3，分别求得各个取值对应的概率，列出分
42、布列，代入公式，即可得期望.（3）先求得等级B的概率，代入公式，可得的表达式，计算分析，即可得答案.（1）由题意得：，解得，因为，所以中位数在内，设中位数为x， 则，解得，所以这名学生成绩的中位数为68.（2），三组数据频率比为，所以从，三组中分别抽取7人，3人，1人，则可取0,1,2,3，则的分布列0123P期望（3）B等级的概率为，则B等级有40人，所以，所以，即，解得，所以当k=40时，有最大值.32（2021江苏省前黄高级中学高三月考）北京时间年月日，历时天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以金银铜打破项世界纪录创造项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官.作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运
43、会斩获金银的好成绩，参赛的名选手全部登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为.为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查（1）从混合的乒乓球中任取个.（i）求这个乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取次，每次抽取个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）（i）；（ii）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）（i）利用全概率公式计算“取出的个乒乓球是合格品”的概率；（ii）利用贝叶斯公式计算“
44、在取到合格品的前提下，它取自第一批乒乓球”的概率；（2）先分析的取值，然后计算出的不同取值对应概率，由此得到的分布列并计算出数学期望.【详解】设事件“任取一个乒乓球是合格品”，事件“产品取自第一批”，事件“产品取自第二批”，则且互斥；（1）（i）由全概率公式可知：，所以；（ii）由贝叶斯公式可知：；（2）由条件可知：的可取值为，所以的分布列为：所以.33（2021全国高三月考（理）2020年是比较特殊的一年，延期一个月进行的高考在万众瞩目下顺利举行并安全结束.在备考期间，某教育考试研究机构举办了多次的跨地域性的联考，在最后一次大型联考结束后，经统计分析发现，学生的模拟测试成绩服从正态分布（满分
45、为750分）.已知，.现在从参加联考的学生名单库中，随机抽取4名学生.（1）求抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间内，2名学生的成绩落在区间内的概率；（2）用表示抽取的4名同学的成绩落在区间内的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）根据正态分布的性质求得，然后利用二项分布列概率公式计算；（2）根据题意判定，进而利用二项分布列公式计算分布，并求得期望值.（1）根据正态分布的特点可知，.用表示事件“抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间内,2名学生的成绩落在区间内”，则.（2）根据题意，则，因此的分布列为012340.12960
46、.34560.34560.15360.0256数学期望.34（2021全国高三专题练习）某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.（1）求该部门招工的淘汰率；（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦经某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率.【答案】（1）0.7192；（2）0.48；（3）0.7192.【分析】(1)由独立事件的概率乘法公式求出通过率，再由独立事件
47、概率公式求该部门招工的淘汰率；(2)由条件概率公式求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；(3)由概率乘法公式和加法公式求被淘汰的概率.【详解】设B表示最终通过考核，表示分别通过第一、二、三、四项考核.（1）因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为，因此该部门招工的淘汰率为.（2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为，因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为.（3）在考核按第一项到第四项的顺序进行的情况下，淘汰率为.35（2021海南海口市第四中学高三月考）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出
48、现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立（1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得分的概率；（2）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）【分析】（1）由条件概率公式可求；（2）根据题意分四种情况求分布列即可.（3）求对立事件“玩三盘游戏全都没出现出现音乐”的概率再求解即可.【详解】（1）若第一次击鼓出现音乐，则该盘游戏获得分的概率为：；（2）可能的取值为，根据题意，有，所以的分布列为：
49、（3）设“第盘游戏没有出现音乐”为事件（，则所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为：因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是36（2021全国高三专题练习（理）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图Failed to download image : （1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：在扶贫攻坚工作中，若使该市
50、约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？附：；若，则，【答案】（1）千元；（2）千元；人【分析】(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得；(2)根据正态分布曲线的对称性分析求解即可；根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可.【详解】解：（1
51、）由频率分布直方图可知：，故估计位农民的年平均收入为千元（2）由题意知，因为，时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；由，每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，则，其中，于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为从而由，得，而，所以当时，当时，由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人37（2021全国高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心
52、牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理学史增信学史崇德学史力行，教育引导党员干部学党史悟思想办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史
53、知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？参考数据：，.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.【分析】（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.【详解】解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，随机变量可能的取值为0，1，2.又，则的分布列为：012.（2）.，每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，所以恰好有个参赛者的分数不
54、低于82.3的概率为，1，2，500.由，得.所以当时，当时，由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.38（2021湖北襄阳四中一模）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标 (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局
55、比赛中国队取胜的概率为p(0p1). （1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265内的排球个数(计算结果取整数).（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.（i）求出f(p)的最大值点;（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.参考数据: N(u，)，则p(-X+)0.6826，p(-2X +2)0.9644.【答案】（1）140；（2）（i）；（ii）分布列见解析.【分析】（1）由正态分布原则即可求出排球个数；（2）（i）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时 的值；（ii）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后
56、求出分布列.【详解】（1）因为服从正态分布N (270， )，所以，所以质量指标在(260，265内的排球个数为个；（2）（i）， 令，得，当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递减；所以的最大值点；（ii）的可能取值为0，1，2，3.； ； ； ；所以的分布列为0123P【点睛】求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.39（2021全国高三专题练习（理）某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直
57、径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.（1）当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；（2）如果钢管的直径在之间为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.（参考数据：若，则，）【答案】（1）有道理，答案见解析；（2）分布列见解析，.【分析】（1）由已知求得.由此事件为小概率事件，可得结论.（2）由正态分布得该批钢管为合格品的概率约为0.95.所以有在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，因此有次品数的可能
58、取值为0，1，2，3.分别求得，由此可得出次品数的分布列和数学期望.【详解】解：（1），而，.此事件为小概率事件，所以该质检员的决定有道理.（2）因为，由题意可知钢管直径满足为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.所以在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，则次品数的可能取值为0，1，2，3.，则次品数的分布列为0123所以.40（2021全国高三专题练习（理）2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该
59、生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量（1）求的概率；（2）求的数学期望；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于或等于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量，则，【答案】（1）；（2）；（3）这种监控生产过程的方法合理【分析】（1）求出，然后求解时的概率（2）判断，求解期望即可（3）求解一天内抽取的10只口罩中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件然后说明结论【详解】解：（1）抽取口罩中过滤率在内的概率，所以，所以，故（2）由题意可知，所以（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一天内抽取的10只口罩中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修可见这种监控生产过程的方法合理