1、法门高中2020-2021学年度高三第一次月考理科数学试题一、选择（每小题5分，共50分）1. 已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性化简集合，根据对数函数的单调性化简集合，根据集合的交集运算可得结果.【详解】由得，所以，由得，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查了指数不等式与对数不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题.2. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意逐一考查所给函数的奇偶性和单调性即可求得最终结果【详解】根据函数的基本性质，逐项判定：
2、对于A中，函数y=x3是奇函数，在区间（0，+）上单调递增，不合题意； 对于B中，函数y=|x|+1是偶函数，在区间（0，+）上单调递增； 对于C中，函数y=-x2+1是偶函数，在区间（0，+）上单调递减，不合题意； 对于D中，函数y=2-|x|是偶函数，在区间（0，+）上单调递减，不合题意 故选：B【点睛】本题主要考查了函数单调性，函数的奇偶性判定及应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题3. 下列四个命题：命题“若，则”的逆否命题为“若，”；“”是“”的必要不充分条件；在区间上有零点，则实数的取值范围是；对于命题存在，使得，则为：任意，均有.其中，错误的命题的个数是（ ）A
3、. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】利用原命题与逆否命题的关系可判断的正误；解不等式，利用集合的包含关系可判断的正误；利用参变量分离法结合二次函数的基本性质求得实数的取值范围，可判断的正误；利用特称命题的否定可判断的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题，命题“若，则”的逆否命题为“若，”，正确；对于命题，解不等式，可得或，或，所以，“”是“”的充分不必要条件，错误；对于命题，令，可得，令，则实数的取值范围即为函数在区间上的值域，当时，所以，当在区间上有零点，则实数的取值范围是，正确；对于命题，由特称命题的否定可知，为：任意，均有，正确.综上所述，错误的命题个数为.故选：B
4、.【点睛】本题考查逆否命题的改写、必要不充分条件的判断、利用二次函数有零点求参数以及特称命题的否定的判断，属于中等题.4. 已知函数的导函数,且满足，则()A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】对函数进行求导，然后把代入到导函数中，得到一个方程，进行求解【详解】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题本题值得注意的是是一个实数5. 下列四类函数中，具有性质“对任意的，函数满足”的是A. 幂函数B. 对数函数C. 指数函数D. 余弦函数【答案】C【解析】【详解】当函数为指数函数时，即，故C正确6. 已知是定义在上的奇函数，当时，若，则
5、实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】时，所以，单调递增，是定义在上的奇函数，所以在上单调递增由得，即，解得7. 在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.8. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先把两个语句进行化简，然
6、后根据条件的判断方法进行判断.【详解】等价于，等价于，由于，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，把语句进行化简是求解关键，属于容易题，侧重考查逻辑推理的核心素养.9. 函数在区间内的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由已知得函数的单调性，再根据零点存在定理可得选项.【详解】由于函数在区间内为单调递增函数，且，即，所以函数在区间内只有一个零点，故选：A【点睛】本题解答中涉及到函数的单调性的应用、函数零点的判定方法、指数函数与幂函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，根据题意得出函数在区
7、间内为单调递增函数，且是解答的关键，属于中档题.10. 若在区间上是增函数，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将函数进行常数分离，结合反比例型函数的单调性，即可求出a的取值范围【详解】因为，又在区间上是增函数，所以，所以故选：C【点睛】本题主要考查由函数的单调性求参数的求值范围，关键是将反比例型函数将进行常数分离，属于中档题二、填空（每小题5分，共25分）11. 命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【详解】恒成立，当时，成立；当时，得；12. a，b为实数，集合，表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则 .【答案】1【解析】试
8、题分析：表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，.考点：映射的概念.13. 已知，则函数_【答案】11【解析】【分析】利用配凑法推导出，由此能求出（3）的值【详解】，所以所以故答案为： 【点睛】本题考查配凑法求函数解析式，考查了函数值的求法，运算求解能力，属于基础题14. 若，且，则的值等于_.【答案】2【解析】【分析】根据指数函数的单调性得到，再根据计算可得结果.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：2.【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性比较大小，考查了根式的性质，属于基础题.15. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分类讨论代入
9、解析式，求出的两个根为，由且可解得结果.【详解】当时，即为，解得，当时，即为，解得，因为关于的方程有两个不同的实根，所以且，解得且，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于基础题.三、解答16. 已知，设命题函数在上单调递增；命题不等式对恒成立.若且为假，或为真，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】先分析各命题为真时对应的的范围，然后根据复合命题的真假判断的真假情况，从而求解出的取值范围.【详解】解：函数在上单调递增，.不等式对恒成立，且，解得，.“”为假，“”为真，、中必有一真一假.当真，假时，得.当假，真时，得.故的取值范围为.【点睛
10、】本题考查指数函数单调性、一元二次不等式恒成立、根据含逻辑联结词的复合命题的真假求解参数，综合型较强，难度一般.一元二次不等式在实数集上的恒成立问题，可转化为一元二次方程的与的关系.17. 已知，（1）当时，且，求；.（2）若，求实数m的取值范围【答案】（1）；或；（2）或.【解析】分析】（1）先求出集合，再利用并集的概念求解即可；（2）先求集合的补集，由已知列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围.【详解】解：（1），或.（2）或，当时，即得满足，当时，使，即或，解得m3，综上所述，m的取值范围是或【点睛】本题主要考查了集合概念和交并补混合计算.属于基础题.18. 已知函数（1）求
11、证：函数在上是增函数；（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）运用函数的单调性的定义证明，设，判断的符号，可得证（2）由已知转化为在上恒成立，设，则需在上恒成立求导，判断在上单调性，可求得a的取值范围【详解】解：（1）证明：当时，设，则，又，即在上是增函数（2）由题意在上恒成立，设，则需在上恒成立又，当时，所以在上单调递增故，即，a的取值范围为【点睛】本题考查函数的单调性的证明，以及不等式的恒成立问题的解决，关键在于构造合适的函数，属于较难题19. 若函数的定义域为当时，求的最值及相应的x的值【答案】当时，取到最大值为，无最小值【解析】【分
12、析】先求出定义域M，然后通过变形以及换元法转化为，求出t=的值域，再结合二次函数的性质求函数最值，以及最值所对应的x的值.【详解】已知，解得或，或，令，则或，或 由二次函数性质可知：当时，当时，单调递减，取值范围为 ，无法取最值，故当，即时，综上可知：当时，取到最大值为，无最小值【点睛】本题考查了对数函数的定义域，考查了指数函数在区间内的值域，考查了二次函数在区间上的最值，体现了转化思想在解题中的运用，是一道综合题20. 已知定义在上函数是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用，建立方程组，即可求出a、b.（2
13、）利用奇函数的性质，把，转化为，再求出的单调性，即可求解.【详解】（1）是定义在上的奇函数，而.对比系数得.即，.（2）在上单调递减，又是奇函数.，对任意恒成立，即恒成立.取值范围是.【点睛】本题考查奇函数的性质以及利用函数单调性解不等式,属于中档题.21. 已知函数. （）当时，求的单调增区间；（）若在上是增函数，求得取值范围；（）在（）的结论下，设，求函数的最小值.【答案】（）；（）；（）当时，的最小值为；当时，的最小值为【解析】【分析】（）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（）在上是增函数等价于恒成立，求出的最小值求求
14、得取值范围；（）分，两种情况讨论，分别利用二次函数与分段函数的性质可求函数的最小值.【详解】（）当时，； ； 由得，或； 故所求的单调增区间为（） 在上是增函数，在上恒成立，即恒成立（当且仅当时取等号）所以 当时,易知在(0,1)上也是增函数,所以（） 由（）知当时，在区间上是增函数所以的最小值为当时， 因为函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，所以在上为增函数，所以的最小值为 所以，当时，的最小值为；当时，的最小值为【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用导数求最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；问题中的条件是分类给出的；解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
