1、第二讲导数在研究函数中的应用第一课时导数与函数的单调性A组基础巩固一、单选题1函数y4x2的单调增区间为(B)A(0，)BCD解析由y4x2，得y8x，令y0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调增区间为.故选B.2函数f(x)x22ln x的递减区间是(A)A(0,1)B(1，)C(，1)D(1,1)解析f(x)2x(x0)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数3(2021河南高三阶段测试)函数f(x)x(ln x)2的减区间是(C)ABCD解析f(x)(ln x)22x(ln x)ln x(ln x2)解f(x)0得2ln x0即x1，故选C.4(2022河南高三月考)已知函数f
2、(x)(exex)，记af，bf，cf()，则a，b，c的大小关系为(C)AabcBcbaCbacDbc0时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，)上递增，则bff(log2)，所以0log212，所以ba0)，当x0时，有0x3，即函数f(x)的单调递减区间是(0,3，所以0a1a13，解得10恒成立，则下列不等式成立的是(A)Af(3)f(4)f(5)Bf(4)f(5)Cf(5)f(3)f(4)Df(4)f(5)0即f(x)0，f(x)在(，0)上单调递减，又f(x)为偶函数，f(x)在(0，)上单调递增f(3)f(4)f(5)，f(3)f(4)f(5)，故选A.二、多选题7若函数g(x)
3、exf(x)(e2.718，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数不具有M性质的为(ACD)Af(x)Bf(x)x21Cf(x)sin xDf(x)x解析对于A，f(x)，则g(x)，g(x)，当x1且x0时，g(x)1时，g(x)0，g(x)在(，0)，(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；对于B，f(x)x21，则g(x)exf(x)ex(x21)，g(x)ex(x21)2xexex(x1)20在实数集R上恒成立，g(x)exf(x)在定义域R上是增函数；对于C，f(x)sin x，则g(x)exsin x，g(x)ex(sin xcos
4、 x)exsin，显然g(x)不单调；对于D，f(x)x，则g(x)xex，则g(x)(x1)ex.当x1时，g(x)0，所以g(x)在R上先减后增；具有M性质的函数的选项为B，不具有M性质的函数的选项为A，C，D.8已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2R(x1x2)下列结论正确的是(BD)Af(x)0恒成立B(x1x2)f(x1)f(x2)Df解析由导函数的图象可知，导函数f(x)的图象在x轴下方，即f(x)0，故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢，所以f(x)的图象如图所示：f(x)0恒成立，没有依据，故A不正确；B表示(x1x2)与f(
5、x1)f(x2)异号，即f(x)为减函数故B正确；C，D左边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故C不正确，D正确三、填空题9函数f(x)的单调递减区间是 (0,1)和(1，e) .解析f(x)0得，解得0x1或1xe.f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，e)10已知函数f(x)x2(xa)(1)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是；(2)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是(，3.解析(1)由f(x)x3ax2，得f(x)3x22ax3x.若f(x)在(2,
6、3)上不单调，则有可得3a.取补集可得(2)结果11若函数f(x)xcos x1，则不等式f(x1)0的解集为 (，1) .解析f(x)的定义域为R，f(x)1sin x0，f(x)在R上单调递增且f(0)0，f(x1)0等价于f(x1)f(0)x10，即x0)又由题意知f(1)0，所以k1.(2)由(1)知，f(x)(x0)设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，所以h(x)在(0，)上单调递减由h(1)0知，当0x0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，由f(x)exa0，得xln a，当0xln a时，f(x)ln a时，f
7、(x)0，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增B组能力提升1(2022全国高三月考)下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在(，0)上单调递增的是(C)Af(x)xcos xBf(x)Cf(x)3x2sin xDf(x)x3x解析选项A中，f(x)cos xxsin x，f(x)在(，0)上不恒非负，选项A错误；选项B中，f(x)f(x)，所以f(x)的图象不关于原点对称，选项B错误；选项C中，f(x)3x2sin(x)f(x)，即f(x)为奇函数
8、，图象关于原点对称，又f(x)32cos x，x0恒成立所以f(x)在(，0)上单调递增，选项C正确；选项D中，f(x)3x21当x0)的单调递增区间为(A)ABCD(，a)解析由f(x)a0，x0，得0x3且a0.4已知函数f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)，对任意实数都有f(x)f(x)0，设F(x)，则不等式F(x)0，则有F(x)0，即函数F(x)在R上为减函数，又由f(1)，则F(1)，不等式F(x)等价于F(x)1，则不等式的解集为(1，)5(2021山东枣庄调研)已知函数f(x)xexa(aR)(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，e)处的切线方程；(2)当a0时，求函数
9、f(x)的单调区间解析(1)a0时，f(x)xex，f(x)(x1)ex，所以切线的斜率是kf(1)2e.又f(1)e，所以yf(x)在点(1，e)处的切线方程为ye2e(x1)，即y2exe.(2)f(x)(x1)(exa)，令f(x)0，得x1或xln a.当a时，f(x)0恒成立，所以f(x)在R上单调递增当0a时，ln a0，得x1，由f(x)0，得ln ax时，ln a1，由f(x)0，得xln a，由f(x)0，得1xln a.所以单调递增区间为(，1)，(ln a，)，单调递减区间为(1，ln a)综上所述，当a时，f(x)在R上单调递增；当0a时，单调递增区间为(，1)，(ln a，)，单调递减区间为(1，ln a)
