1、第二课时平面向量数量积的坐标运算预习课本P8688，思考并完成下列问题1平面向量数量积的坐标表示是什么？ 2如何用坐标表示向量的模？3如何用坐标来求两向量的夹角？4两向量垂直时的坐标公式是什么？1平面向量数量积的坐标表示若两个向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.2与向量的模、夹角相关的公式(1)向量的模若a(x，y)，则|a|.(2)向量的夹角设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，它们的夹角为，则cos .(3)两向量垂直的条件两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则x1x2y1y20.反之，若x1x2y1y20，则ab.点睛两个向量垂直
2、的等价条件是它们的相应坐标乘积的和为0.公式x1x2y1y20是判定两个非零向量垂直的非常有用的条件1向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a_.答案：12已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，则等于_答案：03已知a(1,3)，b(2，1)，则a与b的夹角为_答案：4平面向量a与b的夹角为60，a(2,0), |b|1，则|a2b|_.答案：2平面向量数量积的坐标运算典例(1)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，求(2ab)(a3b)；(2)已知向量a(1,2)，b(3,4)，求 (ab)(2a3b)解(1) (2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|
3、b|cos 1203|b|28152734.(2)法一：因为a(1,2)，b(3,4)， 所以ab(1,2)(3,4)132411，所以(ab)(2a3b)2a2ab3b22|a|2ab3|b|2 2(1222)113(3242)54.法二：因为a(1,2)，b(3,4)，所以ab(1,2)(3,4)(2，2)，2a3b2(1,2)3(3,4)(2133,2234)(11,16)，所以(ab)(2a3b)(2，2)(11,16)211(2)1654.数量积坐标运算的两种方法(1)先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算活学活用(1)已知向量
4、a(1,2)，b(3,2)，求ab和a(ab)(2)若a(2，3)，b(x,2x)，且ab4，求x的值解：(1)ab(1,2)(3,2)(1)3221，a(ab)(1,2)(1,2)(3,2)(1,2)(4,0)4.(2)ab(2，3)(x,2x)2x6x4，x1.平面向量的夹角题点一：求向量的夹角1已知A(16,12)、B(5,15)，O为坐标原点，求OAB的大小解：由已知得到：(16,12)(16，12)，(5,15)(16,12)(21,3)，|20，|15，(16，12)(21,3)(16)(21)(12)3300，cos OAB，0OAB180，OAB45.题点二：向量垂直的应用2已
5、知a(，1)，b，且存在实数k和t，使得xa(t23)b，ykatb，且xy，试求的最小值解：因为a(，1)，b，所以|a|2，|b|1.又因为ab(1)0，所以ab.由xy得a(t23)b(katb)0，即ka2(t33t)b2(tkt23k)ab0，所以k|a|2(t33t)|b|20.将|a|2，|b|1代入上式，得4kt33t0，解得k.所以(t24t3)(t2)2.故当t2时，取得最小值，为.题点三：由角的范围求参数范围3已知向量a(2，1)，b(t,1)，且a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是_解析：因为a与b的夹角为钝角，所以cosa，b0，即ab(2，1)(t,1)2t10
6、，所以t.若ab，可设ab，则(2，1)(t,1)，所以解得此时ab，a与b反向，所成角为180，故t2不合题意所以t的取值范围是(2，)答案：(2，)向量垂直的坐标表示典例已知向量a(sin ，1)，b(1，cos )，.(1)若ab，求；(2)若(ab)(ab)，求.解(1)因为ab0，所以sin cos 0.即tan 1.又，所以.(2)因为(ab)(ab)0，所以a2b20.即a2b2，从而1sin21cos2，所以sin cos ，从而tan 1.又1)所以n6或n(舍去)，所以b(2,6)(2)由(1)知，ab10，|a|25.又因为c与b同向，故可设cb(0)因为 (ca)a0，
7、所以ba|a|20，所以.所以cb(1,3)10已知a(4，3)，b(2,1)，若atb与b的夹角为45，求实数t的值解：由已知atb(4，3)t(2,1)(2t4，t3)所以(atb)b2(2t4)(t3)5t5.|atb|，又|b|.因为(atb)b|atb|b|cos 45，所以5t5.即(t1).两边平方整理，得t22t30.解得t1或t3.经检验t3是增根，舍去，故t1.层级二应试能力达标1已知a(4,2)，与a垂直的单位向量b_.解析：设b(x，y)，则由得 或答案： 或2已知a(2,3)，b(1,4)，c(5,6)，那么(ab)c_，a(bc)_. 解析：因为ab(2,3)(1,
8、4)21210, 所以(ab)c10(5,6)(50,60). 因为bc(1,4)(5,6)52419, 所以a(bc)(2,3)19(38,57)答案：(50,60)(38,57) 3设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于_解析：a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.答案：4若e1，e2是两个单位向量，ae12e2，b5e14e2，且ab，则e1、e2的夹角为_解析：因为ab，所以ab0，即(e12e2)(5e14e2)0，所以5e6e1e28e0，设e1、e2的夹角为，所以 56cos
9、 80，即cos .因为 0，所以 .答案：5已知点A(1，2)，若向量与a(2,3)同向，|2，则点B的坐标是_解析：由题意可设a(0)，所以(2，3)又|2，所以(2)2(3)2(2)2，解得2或2(舍去)所以(4,6)又A(1，2)，所以B(5,4)答案：(5,4)6已知向量a(1,1)，b(1,1)，设向量c满足(2ac)(3bc)0，则的最大值为_解析：因为(2ac)(3bc)0，所以6abc2(2a3b)c0.又因为a(1,1)，b(1,1)，所以ab0，所以2cos (为2a3b与c夹角)，所以cos .答案：7已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a
10、与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角解：设a与b的夹角为，|a|，|b| ，ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以ab0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且cos 1，即ab0且a与b不反向由ab0得120，故4且tsin 取最大值4时，求.解：(1)由题设知(n8，t)，因为a，所以8n2t0.又|，所以564(n8)2t25t2，得t8.当t8时，n24；t8时，n8，所以(24,8)或(8，8)(2)由题设知(ksin 8，t)，因为与a共线，所以t2ksin 16，tsin (2ksin 16)sin 2k2.因为k4，所以01.所以当sin 时，tsin 取得最大值.由4，得k8，此时，(4,8)所以(8,0)(4,8)32.