1、安徽省“皖南八校”2021届高三数学上学期摸底联考试题 文考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A.B.C.D
2、.2.已知命题，.则为（ ）A.，B.，C.，D.，3.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c值分别为3，4，5，则输出的a值为（ ）A.2B.3C.4D.54.将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A.B.C.D.5.已知向量，若，则（ ）A.10B.2C.D.6.函数的图象可能是（ ）A.B.C.D.7.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且焦距为，则抛物线的准线方程为（ ）A.B.C.D.8.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第
3、4天共走路程是（ ）A.72里B.60里C.48里D.36里9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A.B.C.D.10.若正实数x，y满足，则的最小值为（ ）A.B.C.12D.411.若曲线在点处的切线与垂直，则a的值为（ ）A.0B.1C.2D.312.已知函数满足，若函数与图象的交点为，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A.1010B.-2020C.2020D.4040第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点是平面区域，内的任意一点，则的最小值为_.14.已知复数z满足：，则_.15.已
4、知各项都为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为_.16.已知偶函数满足，且当时，若在区间内，函数有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是_.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）在三角形中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，求三角形面积的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前n项和，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，证明：.19.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组合而
5、成的，其中，平面平面.（1）证明：平面平面.（2）若直三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，求.20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成，5组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率.21.（本小题满分12分）已知函数（e为自然对数的底数）.（1）若，讨论的单调
6、性；（2）若时，恒成立，求m的取值范围.22.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点F在直线上，且.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（文科）参考答案、解析及评分细则1.C ，故选C.2.C 命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“，”.3.D4B 函数的周期为，将函数的图象向左平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为.5.D 因为向量，所以，因为，所以，所以，所以.6.
7、D 令，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；因为时，所以排除选项C，选D.7.B 由题意，.8.A 记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得.所以此人第3天和第4天共走了72里.9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为.10.D 因为，所以，因为x，y为正实数，所以，当且仅当时等号成立，所以，解得.11.B 由题意，直线的斜率为，解得.12.C 函数满足，即为可得的图像关于点对称.函数，即的图象关于点对称，即若点为交点，则点也为交点；同理若点为交点，则点也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为.13.-2 作出不等式组表示的可行域，当，时，目标函数取得最
8、小值-2.14. ，故.15.1023 由，得，又数列的各项都为正数，所以.设等比数列的公比为q，则.所以.16. 由题意，函数满足，即，即函数的周期为2，当时，可得函数为单调递增函数，且，当时，由图象可知当时，当时，即，当直线经过点时，此时在区间内两个函数有2个交点，此时，解得.直线经过点时，此时在区间内两个函数有4个交点，此时，解得.直线经过点时，此时在区间内两个函数有3个交点，此时.所以要使得函数有且仅有3个零点，则直线的斜率满足或，即实数k的取值范围是.17.解：（1）设三角形的外接圆的直径长为由已知及正弦定理所以，所以，即.3分由余弦定理得，.4分因为，所以.5分（2）因为，所以，三
9、角形面积，.6分，.8分当且仅当时，此时面积取得最大值.10分18.解：（1）因为数列，是等差数列，且，所以.2分整理得，解得，.4分所以，即，.5分，即.综上，.6分（2）由（1）得.9分所以，即.12分19.解：（1）取的中点H，连接，.由题知，且，又因为，三棱柱为直三棱柱，所以，三条直线两两垂直，故平面，平面.因为平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以平面，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，又因为，所以平面平面.6分（2）由题知，直三棱柱的体积，四棱锥的体积，所以.12分20.解：（1）由频率分布直方图可得，解得，.3分各组频率
10、依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12，则这批零件长度的平均值为.6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，则应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e.这5个零件中随机抽取2个的情况有，共10种，.9分其中符合条件的情况有，共6种.11分所求概率.12分21.解：（1）当时，.1分令，得，令，得.3分所以函数在上单调递减，在上单调递增.4分（2）恒成立，即恒成立.当时，对于任意的，恒成立；.5分当时，即恒成立.6分令，则.整理得，.7分令，注意到，再令，则，.8分所以在单调递增，即.所以在单调递增.9分又，故知在上，在上.从而在上递减，在上递增.10分故，.11分因为在恒成立，所以.12分22.解析：（1）直线与x轴的交点为，解得，椭圆的方程为.4分（2）若直线的斜率不存在，则.若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程可得设，则，.由题意点O为的重心，设，则，所以，代入椭圆，得，设坐标原点O到直线的距离为d，则的面积.综上可得，面积S为定值.12分