1、专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划1. (1,+)【解析】将x=-2代入直线x-2y+4=0中,得y=1.因为点(-2,t)在直线上方,所以t1.2. 18【解析】x+y=(x+y)=2+8+10+2=18,当且仅当x=6,y=12时取等号.3. 3【解析】由题意知a-1,此时不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域,记为ABC,则A(1,0),B(0,1),C(1,1+a),因为SABC=2,所以(1+a)1=2,解得a=3.4. 【解析】因为4x2+y2+xy=1,所以(2x+y)2=3xy+1=2xy+1+1,所以(2x+y)2,所以(2x+y)max=.5. 13【解析】作出可行域
2、如图中阴影部分所示,x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,显然点B(2,3)使x2+y2取最大值,最大值为13.(第5题)6. 2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为目标函数y=-x+z,所以欲使z最大,只需使直线y=-x+z的纵截距最大.因为a1,所以直线x+ay=7的斜率大于-1,故当直线y=-x+z经过直线y=3x与直线x+ay=7的交点时,目标函数z取得最大值,最大值为.由题意得=4,解得a=2.(第6题)7. 【解析】因为x0,所以x+2(当且仅当x=1时取等号),所以=,即的最大值为,故a.8. (-4,2)【解析】不等式x2+2x+对任意a,b(0,+
3、)恒成立,等价于x2+2x,由于+2=8(a=4b时等号成立),所以x2+2x8,解得-4x2.9. (1) 由x+3y-4=0,得x+3y=4,所以3x+27y+2=3x+33y+22+2=2+2=2+2=20,当且仅当3x=33y且x+3y-4=0,即x=2,y=时取等号,此时所求的最小值为20.(2) 由x+y-3xy+5=0,得x+y+5=3xy,所以2+5x+y+5=3xy,所以3xy-2-50,所以(+1)(3-5)0,所以,即xy,当且仅当x=y=时取等号,故xy的最小值是.10. (1) 设DQ=y,则x2+4xy=200,所以y=.S=4200x2+2104xy+804y2=
4、38000+4000x2+(0x10).(2) S=38000+4000x2+38000+2=118000,当且仅当4000x2=,即x=时,Smin=118000(元).答:计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区.11. 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为xmin和ymin,总收益为z元.由题意得目标函数为z=3 000x+2 000y.(第11题)二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的可行域.如图,作直线l:3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0,平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.联立解得x=100,y=200.所以点M的坐标为(100,200).所以zmax=3 000x+2 000y=700 000(元).答:该公司在甲电视台做100min广告,在乙电视台做200min广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
