1、2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1下列说法正确的是（）A1NBQCRDZ2已知全集U=R，集合A=1，2，3，4，5，B=xR|x2，如图中阴影部分所表示的集合为（）A1B0，1C1，2D0，1，23给定映射f：（x，y）（x+2y，2xy），在映射f下（3，1）的原象为（）A（1，3）B（3，1）C（1，1）D4设a，bR，则“a+b2”是“a1且b1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件5已知函数y=，其定义域为（）A（，1B（，2C（，2）（2
2、，1D1，2）（2，+）6已知函数f（x+1）=3x+1，则f（x）的解析式为（）Af（x）=32xBf（x）=23xCf（x）=3x2Df（x）=3x7已知y=f（x+1）是R上的偶函数，且f（2）=1，则f（0）=（）A1B0C1D28函数y=的单调递增区间是（）A（，1）B（2，1）C（1，4）D（1，+）9已知奇函数f（x）在（0，+）上的图象如图所示，则不等式的解集为（）A（3，1）（0，1）（1，3）B（3，1）（0，1）（3，+）C（，3）（1，0）（3，+）D（，3）（1，0）（0，1）10已知函数f（x）=x22x，g（x）=ax+2（a0），若对任意x1R，都存在x22，+
3、），使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（）AB（0，+）CD11已知集合A=x|x22x30，B=x|ax2+bx+c0，a，b，cR，ac0，若AB=（3，4，AB=R，则的最小值是（）A3BC1D12设集合A=x|1x6，xN，对于A的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：1，2，5的“交替和”是52+1=4，6，3的“交替和”就是63=3，3的“交替和”就是3）则集合A的所有这些“交替和”的总和为（）A128B192C224D256二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题
4、卡上相应位置（只填结果，不写过程）13设函数f（x）=，则f（2018）=14计算： =15函数f（x）=2x的值域为16若函数f（x）=|a的图象与x轴恰有四个不同的交点，则实数a的取值范围为三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17已知集合A=，集合B=x|2x1|3（1）分别求集合A、B；（2）求（RA）B18已知函数f（x）的定义域为（0，4），函数g（x）=的定义域为集合A，集合B=x|ax2a1，若AB=B，求实数a的取值范围19已知函数f（x）=（1）求函数f（x）在区间0，2上的最值；（2）若关于x的方程
5、（x+1）f（x）ax=0在区间（1，4）内有两个不等实根，求实数a的取值范围20已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3x）=f（x），且有最小值（）求函数f（x）的解析式；（）求函数h（x）=f（x）（2t3）x在0，1上的最小值g（t）21已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x0时，f（x）0，且f（1）=2（）判断f（x）的奇偶性；（）求f（x）在区间2，2上的最大值；（）若a0，解关于x的不等式f（ax2）2f（x）f（ax）+422对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x
6、）的一个“P数对”；设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3（）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，求常数a，b的值；（）若（2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x1，2）时f（x）=k|2x3|，求k的值及f（x）在区间1，2n）（nN*）上的最大值与最小值2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1下列说法正确的是（）A1NBQCRDZ【考点】元素与集合关系的判断【专题】应用题；集合思想；分析法；集合【分析】根据常见集合和空集即可判断
7、【解答】解：N为自然数集，Q为有理数集，R为实数集，Z为整数集，所以：A，B，C错误，因为空集是任何非空集合的子集，故D正确，故选：D【点评】本题考查了常见的基本集合和空集的问题，属于基础题2已知全集U=R，集合A=1，2，3，4，5，B=xR|x2，如图中阴影部分所表示的集合为（）A1B0，1C1，2D0，1，2【考点】Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中又A=1，2，3，4，5，B=xR|x2，则右图中阴影部分表示
8、的集合是：1故选A【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想属于基础题3给定映射f：（x，y）（x+2y，2xy），在映射f下（3，1）的原象为（）A（1，3）B（3，1）C（1，1）D【考点】映射【专题】计算题【分析】由已知中：（x，y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2xy），设（3，1）的原象（a，b），根据已知中映射的对应法则，我们可以构造一个关于a，b的方程组，解方程组即可求出答案【解答】解：（x，y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2xy）设（3，1）的原象（a，b）则 a+2b=3，2ab=1故a=1，b=1故（3，1）
9、的原象为（1，1）故选C【点评】本题考查的知识点是映射，其中根据已知中映射的对应法则，设出原象的坐标，并构造出相应的方程（组）是解答本题的关键4设a，bR，则“a+b2”是“a1且b1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若a1且b1时，a+b2成立若a=0，b=3，满足a+b1，但a1且b1不成立，“a+b2”是“a1且b1”的必要不充分条件故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的性质的判断，比较基
10、础5已知函数y=，其定义域为（）A（，1B（，2C（，2）（2，1D1，2）（2，+）【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据二次个数的性质且分母不为0，求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得：，解得：x1且x2，故选：C【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题6已知函数f（x+1）=3x+1，则f（x）的解析式为（）Af（x）=32xBf（x）=23xCf（x）=3x2Df（x）=3x【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】将f（x+1）的解析式变成f（x+1）=3（x+1）2，这样便可得出f（
11、x）的解析式【解答】解：f（x+1）=3x+1=3（x+1）2；f（x）=3x2故选C【点评】考查函数解析式的概念，将fg（x）中的x变成g（x）从而求f（x）解析式的方法，还可用换元法求解析式7已知y=f（x+1）是R上的偶函数，且f（2）=1，则f（0）=（）A1B0C1D2【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据f（x+1）为偶函数便有f（x+1）=f（x+1），从而f（2）=f（1+1）=f（1+1），从而便可得出f（0）的值【解答】解：f（x+1）为R上的偶函数；f（2）=f（1+1）=f（1+1）=f（0）=1；即f（0）=1故选：C【点评】考
12、查偶函数的定义，要清楚函数y=f（x+1）的自变量是什么8函数y=的单调递增区间是（）A（，1）B（2，1）C（1，4）D（1，+）【考点】函数的单调性及单调区间【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】可先求出该函数的定义域为2，4，容易看出该函数是由和t=x2+2x+8复合而成的复合函数，而为增函数，求t=x2+2x+8在2，4上的单调递增区间，从而便可得出原函数的单调递增区间【解答】解：解x2+2x+80得，2x4；令x2+2x+8=t，则y=为增函数；t=x2+2x+8在2，4上的增区间便是原函数的单调递增区间；原函数的单调递增区间为（2，1）故选：B【点评】考查一元二次不等式
13、的解法，复合函数的定义，以及复合函数单调区间的求法，二次函数的单调区间的求法9已知奇函数f（x）在（0，+）上的图象如图所示，则不等式的解集为（）A（3，1）（0，1）（1，3）B（3，1）（0，1）（3，+）C（，3）（1，0）（3，+）D（，3）（1，0）（0，1）【考点】函数的图象【专题】应用题；数形结合；分析法；函数的性质及应用【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果【解答】解：不等式转化为（x1）f（x）0，则，或，1x3，0x1，或3x1，等式的解集为（3，1）（0，1）（1，3）
14、，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于Y轴对称10已知函数f（x）=x22x，g（x）=ax+2（a0），若对任意x1R，都存在x22，+），使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（）AB（0，+）CD【考点】全称命题【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】确定函数f（x）、g（x）的值域，根据对任意的x1R都存在x22，+），使得f（x1）g（x2），可f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=x22x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称f（x）的最小值为
15、f（1）=1，无最大值，可得f（x1）值域为1，+），又g（x）=ax+2（a0），x22，+），g（x）=ax+2（a0）为单调增函数，g（x2）值域为g（2），+），即g（x2）22a，+），对任意的x1R都存在x22，+），使得f（x1）g（x2），只需f（x）值域是g（x）值域的子集即可，22a1，解得：a，故选：A【点评】本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的理解11已知集合A=x|x22x30，B=x|ax2+bx+c0，a，b，cR，ac0，若AB=（3，4，AB=R，则的最小值是（）A3BC1D【考点】交集及其运算；并集及其运算【专
16、题】计算题；转化思想；综合法；集合【分析】求出不等式的解，根据集合关系求出a，b，c的值，利用基本不等式进行求解即可【解答】解：A=x|x22x30=x|x3或x1，AB=（3，4，AB=R，1，4是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a0，则1+4=3，即b=3a，14=，即c=4a，=9a+2=，当且仅当9a=，即a=时，取等号，故最小值为，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，根与系数的关系以及基本不等式的应用，根据条件求出a，b，c的关系是解决本题的关键12设集合A=x|1x6，xN，对于A的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始
17、交替地加减各数（如：1，2，5的“交替和”是52+1=4，6，3的“交替和”就是63=3，3的“交替和”就是3）则集合A的所有这些“交替和”的总和为（）A128B192C224D256【考点】元素与集合关系的判断【专题】探究型；整体思想；分析法；集合【分析】根据“交替和”的定义：求出S2、S3、S4，并根据其结果猜测集合N=1，2，3，n的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn即可【解答】解：由题意，S2表示集合N=1，2的所有非空子集的“交替和”的总和，又1，2的非空子集有1，2，2，1，S2=1+2+21=4；S3=1+2+3+（21）+（31）+（32）+（32+1）=12，S4=1+2+
18、3+4+（21）+（31）+（41）+（32）+（42）+（43）+（32+1）+（42+1）+（43+1）+（43+2）+（43+21）=32，根据前4项猜测集合N=1，2，3，n的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=n2n1，所以S6=6261=625=192，故选：B【点评】本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13设函数f（x）=，则f（2018）=2015【考点】函数的值【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解【
19、解答】解：f（x）=，f（2018）=f（2013）=2013+2=2015故答案为：2015【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用14计算： =2【考点】有理数指数幂的化简求值【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用分数指数幂、根式的转化公式、性质及运算法则求解【解答】解： =2故答案为：2【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意分数指数幂、根式的转化公式、性质及运算法则的合理运用15函数f（x）=2x的值域为（，2【考点】函数的值域【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据1x0便可
20、求出x和的范围，从而得出2x和的范围，这样即得出f（x）的范围，即得出函数f（x）的值域【解答】解：1x0；x1，；f（x）2；f（x）的值域为（，2故答案为：（，2【点评】考查函数值域的概念，一次函数的值域，以及根据不等式的性质求函数值域的方法16若函数f（x）=|a的图象与x轴恰有四个不同的交点，则实数a的取值范围为（0，1.5）（6，+）【考点】函数的图象【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由题意可得函数y=|=|x+4|的图象和直线y=a有4个交点，数形结合可得a的范围【解答】解：函数f（x）=|a的图象与x轴恰有四个不同的交点，即函数y=|=|x+4|的图
21、象和直线y=a有4个交点对于 y=|=|x+4|=如图所示：则实数a（0，1.5）（6，+），故答案为：（0，1.5）（6，+）【点评】函数的零点与方程的根的关系，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17已知集合A=，集合B=x|2x1|3（1）分别求集合A、B；（2）求（RA）B【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；转化思想；集合思想；分析法；集合【分析】（1）求解分式不等式得到集合A；求解绝对值的不等式可得集合B；（2）先求出RA，然后利
22、用交集运算得答案【解答】解：（1）由，得x0或x3，A=x|x0或x3，由|2x1|3，得32x13，解得，1x2，B=x|2x1|3=x|1x2；（2）由A=x|x0或x3，得RA=x|0x3又B=x|1x2，（RA）B=x|0x3x|1x2=x|0x2【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查了分式不等式的解法和绝对值不等式的解法，是基础题18已知函数f（x）的定义域为（0，4），函数g（x）=的定义域为集合A，集合B=x|ax2a1，若AB=B，求实数a的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】集合思想；综合法；集合【分析】根据f（x）的定义域便可得出函数g（x）的自变量x满足
23、，从而得出集合A=x|1x3，而由AB=B便知BA，这样可看出：讨论B=和B两种情况，求出每种情况的a的范围，再求并集便可得出实数a的取值范围【解答】解：要使g（x）有意义，则：；1x3；A=x|1x3；AB=B；BA；若B=，满足BA，则a2a1；a1；若B，则：；1a2；a2；实数a的取值范围为（，2【点评】考查描述法表示集合，函数定义域的概念及其求法，空集的概念，交集、子集的概念，不要漏了B=的情况19已知函数f（x）=（1）求函数f（x）在区间0，2上的最值；（2）若关于x的方程（x+1）f（x）ax=0在区间（1，4）内有两个不等实根，求实数a的取值范围【考点】函数的最值及其几何意义
24、；函数零点的判定定理【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）利用换元法令t=x+1，t1，3，从而化为y=t+2，从而求闭区间上的最值；（2）当x（1，4）时，可化方程为a=x+，从而作函数y=x+在（1，4）上的图象，结合图象求解即可【解答】解：（1）令t=x+1，t1，3，则x=t1，故y=f（x）=t+2，由对勾函数的性质可知，函数y=g（t）=t+2在1，2上单调递减，在2，3上单调递增；且g（1）=1+42=3，g（2）=2+22=2，g（3）=3+2=，故函数f（x）在区间0，2上的最小值为2，最大值为3；（2）当x（1，4）时，（x+1）f（x）
25、ax=0，（x2+3）ax=0，故a=x+，作函数y=x+在（1，4）上的图象如下，其中ymin=+=2，y|x=1=1+3=4，y|x=4=4+4，故结合图象可知，当2a4时，关于x的方程（x+1）f（x）ax=0在区间（1，4）内有两个不等实根故实数a的取值范围为2a4【点评】本题考查了函数的最值的求法及数形结合的思想应用20已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3x）=f（x），且有最小值（）求函数f（x）的解析式；（）求函数h（x）=f（x）（2t3）x在0，1上的最小值g（t）【考点】二次函数的性质【专题】分类讨论；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】（
26、）由已知可得：函数图象的顶点坐标为（，），设出顶点式方程，将点（0，4）代入可得，函数f（x）的解析式；（）分类讨论，函数h（x）在0，1上的单调性，进而得到各种情况下函数h（x）在0，1上的最小值，综合讨论结果，可得答案【解答】解：（）函数f（x）对任意x满足f（3x）=f（x），且有最小值函数图象的顶点坐标为（，），设f（x）=a（x）2+，函数f（x）的图象过点（0，4），a（）2+=4，a=1，f（x）=（x）2+=x23x+4，（）函数h（x）=f（x）（2t3）x=x22tx+4的图象是开口朝上，且以直线x=t为对称轴的抛物线，当t0时，函数h（x）在0，1上为增函数，当x=0时，
27、函数h（x）的最小值g（t）=4；当0t1时，函数h（x）在0，t上为减函数，在t，1上为增函数，当x=t时，函数h（x）的最小值g（t）=t2+4；当t1时，函数h（x）在0，1上为减函数，当x=1时，函数h（x）的最小值g（t）=53t；综上所述，值g（t）=【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键21已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x0时，f（x）0，且f（1）=2（）判断f（x）的奇偶性；（）求f（x）在区间2，2上的最大值；（）若a0，解关于x的不等式f（ax2）2f（x）f（ax）+4【考点】
28、抽象函数及其应用【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（）函数f（x）的定义域为R，再令x=y=0，令y=x，从而解得；（）利用定义法证明函数的单调性，从而求最大值；（）由不等式化简可得f（ax22x）f（ax2），从而可得ax22xax2，从而分类讨论求解集【解答】解：（）由题意知，函数f（x）的定义域为R，令x=y=0得，f（0+0）=f（0）+f（0），解得，f（0）=0，令y=x得，f（xx）=f（x）+f（x），即f（x）+f（x）=0，即f（x）=f（x），故f（x）是R上的奇函数；（）任取x1x2，则f（x2）f（x1）=f（x2）+f（x1）=f（x2x1
29、），x2x10，f（x2x1）0，故f（x2）f（x1）0，故f（x）在R是单调减函数，f（1）=2，f（2）=f（1）+f（1）=4，f（2）=f（2）=4，故f（x）在区间2，2上的最大值为4；（）f（ax2）2f（x）f（ax）+4，f（ax2）f（2x）f（ax）+f（2），f（ax22x）f（ax2），ax22xax2，即ax2（2+a）x+20，即（ax2）（x1）0，当a=0时，不等式（ax2）（x1）0的解集为（，1），当0a2时，不等式（ax2）（x1）0的解集为（，1）（，+），当a2时，不等式（ax2）（x1）0的解集为（，）（1，+）【点评】本题考查了函数的性质的判断与
30、不等式的解法与应用22对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3（）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，求常数a，b的值；（）若（2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x1，2）时f（x）=k|2x3|，求k的值及f（x）在区间1，2n）（nN*）上的最大值与最小值【考点】抽象函数及其应用【专题】新定义；函数思想；函数的性质及应用【分析】（）利用f（2）=6，f（4）=9，建立方程组，即可求常数a，b的值；（）令x=1，则f（1）=k1=3，
31、解得k=4，当x1，2）时f（x）=4|2x3|，得出f（x）在1，2）上的取值范围是3，4利用由已知，f（2x）=2f（x）恒成立，将1，2n）分解成2k1，2k），（kN*）的并集，求出f（x）在各段2k1，2k）上的取值范围，各段上最大值、最小值即为所求的最大值，最小值【解答】解：（）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，则f（2）=af（1）+b，即6=3a+b ，f（4）=af（2）+b，即9=6a+b，解得a=1，b=3；（）当x1，2）时，f（x）=k|2x3|，令x=1，可得f（1）=k1=3，解得k=4，10分所以，x1，2）时，f（x）=4|
32、2x3|，故f（x）在1，2）上的取值范围是3，4又（2，0）是f（x）的一个“P数对”，故f（2x）=2f（x）恒成立，当x2k1，2k）（kN*）时， =，9分故k为奇数时，f（x）在2k1，2k）上的取值范围是32k1，2k+1；当k为偶数时，f（x）在2k1，2k）上的取值范围是2k+1，32k1 11分所以当n=1时，f（x）在1，2n）上的最大值为4，最小值为3；当n为不小于3的奇数时，f（x）在1，2n）上的最大值为2n+1，最小值为2n；当n为不小于2的偶数时，f（x）在1，2n）上的最大值为2n，最小值为2n+113分【点评】本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力考查转化计算，分类讨论、构造能力及推理论证能力，思维量大，属于难题
