1、第三章检测试题(时间:120分钟满分:150分) 选题明细表知识点、方法题号不等式的性质1,4一元二次不等式的解法5,6,15,18平面区域与线性规划2,3,8,10,12,14,20基本不等式7,9,11,13,16,17,19综合应用21,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若b(B)abb(C)+b2解析:因为0,所以ba0,则原点一侧对应的不等式是3x+2y+50,可以验证仅有点(-3,4)满足3x+2y+50.故选A.3.不等式组表示的平面区域是图中的(C)解析:不等式y2表示直线y=2下方区域(包含边界),不等式x-y+20表示直线x-y+2=0及其右下方区
2、域,取两区域的重叠部分,故选C.4.若ab0,则下列不等式中,总成立的是(C)(A) (B)a+b+(C)a+b+(D)解析:法一由ab00b+,故选C.法二(特值法)令a=2,b=1,排除A,B,D,故选C.5.若f(x)=的定义域为R,则实数k的取值范围是(C)(A)k|0k1(B)k|k1(C)k|0k1(D)k|k1解析:当k=0时,80成立,当k0时,只需解得0k1.由知0k1.故选C.6.关于x的不等式x2-ax-20a20的任意两个解的差不超过9,则a的最大值与最小值的和是(C)(A)2(B)1(C)0(D)-1解析:方程x2-ax-20a2=0的两根是 x1=-4a,x2=5a
3、,则由关于x的不等式x2-ax-20a20,y0),则x+y的最小值为(D)(A)12(B)14(C)16(D)18解析:x+y=(+)(x+y)=2+8+10+2=18,当且仅当x=6,y=12时,取等号.故选D.8.若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为(B)(A)2(B)5(C)8(D)10解析: 约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-x+,表示直线y=-x+在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=24+3(-1)=5.故选B.9.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储
4、时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(B)(A)60件(B)80件(C)100件 (D)120件解析:设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+2=20,当且仅当=(x0),即x=80时,等号成立.故选B.10.设x,y满足约束条件若z=x+y的最大值为6,则的最大值为(C)(A) (B)2 (C)4 (D)5解析: 作出x,y满足约束条件表示的平面区域,由解得A(,a),直线z=x+y,经过交点A时,目标函数取得最大值6,可得+a=6.解得a=4.则=的几何意义是可行域的点与(-4,0)连线的斜率,由可行域可知(-4,0
5、)与B连线的斜率最大,由可得B(-3,4),则的最大值为4.故选C.11.若不等式x2+ax+10对一切x(0,都成立,则a的最小值为(D)(A)0(B)-2(C)-3(D)-解析:由对一切x(0,不等式x2+ax+10都成立,所以ax-x2-1,即a-x-.设g(x)=-x-,只需ag(x)max,而g(x)=-x-在x(0,上是增函数,所以g(x)=-x-的最大值是g()=-.故选D.12.设变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为40,则+的最小值为(B)(A)(B)(C)1(D)4解析: 作出可行域如图阴影部分所示(不包括坐标轴边界上的点).由z=ax+b
6、y得y=-x+z.因为a0,b0,所以-时满足条件,当直线x+y=a经过点B(1,0)时,a=1,所以当0a1时满足条件,所以a的取值范围为0a1或a.答案:(0,1,+)15.不等式x2-ax+b0的解集为x|2x0的解集为.解析:由题意得方程x2-ax+b=0的两根为2,3.所以a=5,b=6,所以不等式bx2-ax-10可化为6x2-5x-10,即(x-1)(6x+1)0,所以x1.答案:(-,-)(1,+)16.已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取最小值时,a+b-c的最大值为.解析:正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,=+-
7、12-1=3.当且仅当a=2b时,取得等号,则a=2b时,取得最小值,且c=6b2,所以a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6(b-)2+,当b=时,a+b-c有最大值为.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)若a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)8abc.证明:因为a,b,c都是正数,且a+b+c=1,所以(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)222=8abc.18.(本小题满分12分)已知f(x)=x2-(a+)x+1.(1)当a=时,解不等式f(x)0;(2)若a0,解关于x的不等式
8、f(x)0.解:(1)当a=时,有不等式f(x)=x2-x+10,所以(x-)(x-2)0,所以x2,即所求不等式的解集为,2.(2)因为f(x)=(x-)(x-a)0,a0,且方程(x-)(x-a)=0的两根为x1=a,x2=,所以当a,即0a1时,不等式的解集为a,;当1时,不等式的解集为,a;当=a,即a=1时,不等式的解集为1.19.(本小题满分12分)已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值.解:由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),得(1)因为x0,y0,所以3xy=x+y+12+1.所以3xy-2-10.即3()2-2-
9、10.所以(3+1)(-1)0.所以1,所以xy1.当且仅当x=y=1时,等号成立.所以xy的最小值为1.(2)因为x0,y0,所以x+y+1=3xy3()2.所以3(x+y)2-4(x+y)-40.所以3(x+y)+2(x+y)-20.所以x+y2.当且仅当x=y=1时取等号.所以x+y的最小值为2.20.(本小题满分12分)某糖果厂生产A,B两种糖果,A种糖果每箱可获利润 40元,B种糖果每箱可获利润50元.其生产过程分混合、烹调、包装三道工序.下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位:min).混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中,混合的设备至多用机器12 h,烹调的设备最
10、多只能用机器30 h,包装的设备最多只能用机器15 h,每种糖果各生产多少箱可获得最大利润?解:设生产A种糖果x箱,生产B种糖果y箱,可获利润为z元,即求z=40x+50y在约束条件下的最大值.作出可行域,如图,作直线l0:40x+50y=0,平移l0,经过点P时,z=40x+50y取最大值.解方程组得点P坐标为(120,300).所以zmax=40120+50300=19 800.所以生产A种糖果120箱,生产B种糖果300箱时,可以获得最大利润19 800元.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2-1,对任意x,+),f()-4m2f(x)f(x-1)+4f(m)恒成立,求实数m的取值范围.解:因为f(x)=x2-1,f()-4m2f(x)f(x-1)+4f(m)对x,+)恒成立,即-1-4m2(x2-1)(x-1)2-1+4(m2-1)对x,+)恒成立.所以-4m2-1对x,+)恒成立.令g(x)=,则g(x)=-=-3(+)=-3(+)2+.因为x,所以00,即-2n2+40n-720,解得2n18,由于nN*,故从第三年开始盈利.(2)年平均纯利润为=-2n+40-=40-2(n+),因为n+12,所以=40-2(n+)16,当且仅当n=6时等号成立,此时年平均纯利润最大值为16万元,即前6年投资商年平均纯利润达到最大,年平均纯利润最大值为16万元.
